Google
Câu hỏi: Chu vi của một tam giác là 16cm, độ dài một cạnh tam giác là 6cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhât.
Phương pháp giải
Có thể áp dụng công thức Hê-rông để tính diện tích tam giác:
Nếu tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thì diện tích của nó là:
\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left({p - b} \right)\left({p - c} \right)} \)
(p là nửa chu vi của tam giác.)
Lời giải chi tiết
Gọi x, y là độ dài hai cạnh còn lại của tam giác.
Nửa chu vi tam giác là p=16:2=8.
Ta có: \(x + y = 16 - 6 = 10\) \(\Rightarrow y = 10 - x\) với \(x > 0, y > 0\)
Diện tích tam giác là:
\(S = \sqrt {p\left( {p - 6} \right)\left({p - x} \right)\left({p - y} \right)} \)
\(= \sqrt {8.2\left( {8 - x} \right)\left({8 - y} \right)} \)
\(= 4\sqrt {\left( {8 - x} \right)\left({8 - y} \right)} \)
Thay y= 10- x, ta được \(S = 4\sqrt {\left( {8 - x} \right)\left({x - 2} \right)} \)
\(= 4\sqrt {{-x^2} + 10x - 16} \left( {0 < x < 10} \right)\)
S đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0; 10) khi và chỉ khi hàm số \(f\left( x \right) = - {x^2} + 10x - 16\) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0; 10).
\(f'\left( x \right) = - 2x + 10\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 5; f\left(5 \right) = 9\)
Tam giác có diện tích lớn nhất khi x = 5 (cm) và y= 5 (cm)
\(\mathop {\max }\limits_{x \in \left( {0; 10} \right)} f\left(x \right) = f\left(5 \right) = 9\)
Khi đó diện tích tam giác là: \(S = 4\sqrt {(8-5)(5-2)} = 12\left({c{m^2}} \right)\)
Cách khác:
Ta có: \(S = 4\sqrt {\left( {8 - x} \right)\left({x - 2} \right)} \)
ĐK: \(\left( {8 - x} \right)\left({x - 2} \right) \ge 0 \) \(\Leftrightarrow 2 \le x \le 8\)
Áp dụng BĐT Cô - si cho hai số không âm \(a=8-x\) và \(b=x-2\) ta có:
\(\begin{array}{l}
\sqrt {\left({8 - x} \right)\left({x - 2} \right)} \le \frac{{8 - x + x - 2}}{2} = 3\\
\Rightarrow S \le 4.3 = 12
\end{array}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(8 - x = x - 2 \)
\(\Leftrightarrow 10 = 2x \Leftrightarrow x = 5\).
Có thể áp dụng công thức Hê-rông để tính diện tích tam giác:
Nếu tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thì diện tích của nó là:
\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left({p - b} \right)\left({p - c} \right)} \)
(p là nửa chu vi của tam giác.)
Lời giải chi tiết
Gọi x, y là độ dài hai cạnh còn lại của tam giác.
Nửa chu vi tam giác là p=16:2=8.
Ta có: \(x + y = 16 - 6 = 10\) \(\Rightarrow y = 10 - x\) với \(x > 0, y > 0\)
Diện tích tam giác là:
\(S = \sqrt {p\left( {p - 6} \right)\left({p - x} \right)\left({p - y} \right)} \)
\(= \sqrt {8.2\left( {8 - x} \right)\left({8 - y} \right)} \)
\(= 4\sqrt {\left( {8 - x} \right)\left({8 - y} \right)} \)
Thay y= 10- x, ta được \(S = 4\sqrt {\left( {8 - x} \right)\left({x - 2} \right)} \)
\(= 4\sqrt {{-x^2} + 10x - 16} \left( {0 < x < 10} \right)\)
S đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0; 10) khi và chỉ khi hàm số \(f\left( x \right) = - {x^2} + 10x - 16\) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0; 10).
\(f'\left( x \right) = - 2x + 10\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 5; f\left(5 \right) = 9\)
Tam giác có diện tích lớn nhất khi x = 5 (cm) và y= 5 (cm)
\(\mathop {\max }\limits_{x \in \left( {0; 10} \right)} f\left(x \right) = f\left(5 \right) = 9\)
Khi đó diện tích tam giác là: \(S = 4\sqrt {(8-5)(5-2)} = 12\left({c{m^2}} \right)\)
Cách khác:
Ta có: \(S = 4\sqrt {\left( {8 - x} \right)\left({x - 2} \right)} \)
ĐK: \(\left( {8 - x} \right)\left({x - 2} \right) \ge 0 \) \(\Leftrightarrow 2 \le x \le 8\)
Áp dụng BĐT Cô - si cho hai số không âm \(a=8-x\) và \(b=x-2\) ta có:
\(\begin{array}{l}
\sqrt {\left({8 - x} \right)\left({x - 2} \right)} \le \frac{{8 - x + x - 2}}{2} = 3\\
\Rightarrow S \le 4.3 = 12
\end{array}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(8 - x = x - 2 \)
\(\Leftrightarrow 10 = 2x \Leftrightarrow x = 5\).