Bài 75 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

Câu hỏi: Cho hàm số: \(y = {x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m\)

Câu a​

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.
Lời giải chi tiết:
Với \(m=2\) hàm số đã cho có dạng: \(y={x^4} - 3{x^2} + 2\)
Tập xác định: \(D=\mathbb R\)
\(\eqalign{
& y' = 4{x^3} - 6x \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow x\left({4{x^2} - 6} \right) = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \frac{6}{4}\end{array} \right.\cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr x = {{\sqrt 6 } \over 2} \hfill \cr x = - {{\sqrt 6 } \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Hàm số đồng biến trên khoảng: \(\left( { - {{\sqrt 6 } \over 2}; 0} \right)\) và \(\left( {{{\sqrt 6 } \over 2}; + \infty } \right)\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng: \(\left( { - \infty ; - {{\sqrt 6 } \over 2}} \right)\) và \(\left( {0;{{\sqrt 6 } \over 2}} \right)\)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0; y(0)=2\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {{\sqrt 6 } \over 2}\) và \(x = - {{\sqrt 6 } \over 2}\), \(y\left( { \pm {{\sqrt 6 } \over 2}} \right) = - {1 \over 4}\)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \)
Bảng biến thiên:

Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm \((0; 2)\)
Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm: \(\left( { - \sqrt 2; 0} \right),\left({ - 1; 0} \right),\) \(\left( {1; 0} \right),\left({\sqrt 2; 0} \right)\)

Đồ thị hàm số là hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Câu b​

Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của đường cong (C) và trục là nghiệm phương trình
\({x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m = 0 \left(1 \right)\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} = 1 \hfill \cr
{x^2} = m \hfill \cr} \right.\)
(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m>0 và \(m \ne 1\)
Khi đó (1) có 4 nghiệm: \(x = - 1; x = 1; x = - \sqrt m; x = \sqrt m \)
* \(- \sqrt m < - 1 < 1 < \sqrt m \)
(C) cắt trục tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi \(\sqrt m - 1 = 1 - \left( { - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow m = 9\)
* \(- 1 < - \sqrt m < \sqrt m < 1\)
(C) cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi \(1 - \sqrt m = \sqrt m - \left( { - \sqrt m } \right) = 2\sqrt m \)
Vậy m= 9 hoặc \(m = {1 \over 9}\).

Cách khác:
Đặt t=x2​, điều kiện t≥0.
Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của phương trình:
x4​-(m+1) x2​+m=0 (1)
<=> t2​-(m+1)t+m=0 (2)
Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại bốn điểm tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dai bằng nhau, tức 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.
<=> Phương trình (2) có 2 nghiệm dương t1​, t2​ (với t1​ < t2​) thõa mãn điều kiện:
\(\begin{array}{l}\sqrt {{t_2}} - \sqrt {{t_1}} = \sqrt {{t_1}} - \left( { - \sqrt {{t_1}} } \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} = 3\sqrt {{t_1}} \\ \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}\end{array}\)
Điều kiện để (2) có 2 nghiệm dương phân biệt là:
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
S = m + 1 > 0\\
P = m > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {m + 1} \right)^2} - 4m > 0\\
m > - 1\\
m > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
m \ne 1
\end{array} \right.\left( * \right)
\end{array}$
Áp dụng định lý Viet ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} + {t_2} = m + 1\\
{t_1}.{t_2} = m
\end{array} \right.$
Thay
${t_2} = 9{t_1} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
10{t_1} = m + 1\\
9t_1^2 = m
\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow {t_1} = \frac{{m + 1}}{{10}}\\
\Rightarrow 9.{\left( {\frac{{m + 1}}{{10}}} \right)^2} = m\\
\Leftrightarrow 9{m^2} - 82m + 9 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 9\\
m = \frac{1}{9}
\end{array} \right.
\end{array}$
Kết hợp với điều kiện (*), vậy với m = 9 hoặc m = 1/9 thì đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm, tạo thành 3 đoạn thẳng bằng nhau.