Bài 50 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:

Câu a​

(m2​+2)x2 ​- 2(m+1)x + 1
Phương pháp giải:
Tam thức
\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c > 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta < 0
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Vì m2​ + 2 > 0 nên:
(m2​+2)x2 ​- 2(m+1)x + 1 > 0 ∀x ∈ R
⇔ Δ’ = (m + 1)2​ – (m2​ + 2) < 0
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - 2 < 0\\
\Leftrightarrow 2m - 1 < 0
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow m < {1 \over 2}\)
Vậy với \(m < {1 \over 2}\) thì (m2​+2)x2 ​- 2(m+1)x + 1 > 0 ∀ x ∈ R

Câu b​

(m+2)x2 ​+ 2(m+2)x + m + 3
Phương pháp giải:
Xét hai trường hợp a = 0 và a > 0.
Lời giải chi tiết:
Với \(m = -2\) thì ta có: \(f(x) = 1 >0, ∀x ∈\mathbb R\)
Với \(m ≠ -2\) ta có: \(f(x) > 0, ∀x ∈ R\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a > 0 \hfill \cr 
\Delta ' < 0 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m + 2 > 0 \hfill \cr 
{(m + 2)^2} - (m + 2)(m + 3) < 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - 2\\
{m^2} + 4m + 4 - \left({{m^2} + 5m + 6} \right) < 0
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > - 2 \hfill \cr 
- m - 2 < 0 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow m > - 2\)
Vậy \(f(x) > 0, ∀x ∈\mathbb R  ⇔ m ≥ -2\)