Bài 5 trang 80 SGK Hình học 10 nâng cao

Câu hỏi: Cho đường thẳng d có phương trình x - y = 0 và điểm M(2,1)

Câu a​

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm M.
Phương pháp giải:
- Chọn một điểm đi qua của d.
- Tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm trên qua M.
- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua điểm vừa tìm và song song với d.
Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d qua O(0,0) và có vectơ pháp tuyến .
Gọi là điểm đối xứng của O qua M thì M là trung điểm của ON, ta có:

Vậy N(4,2)
Đường thẳng đối xứng với d qua M là đường thẳng đi qua N(4,2) và song song với d nên có phương trình tổng quát là:

Câu b​

Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d.
Phương pháp giải:
- Viết pt đường thẳng d' đi qua M và vuông góc với d.
- Tìm giao điểm của d và d'.
Lời giải chi tiết:
Gọi d’ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với d thì d’ có vectơ pháp tuyến do đó d’ có phương trình tổng quát là:


Hình chiếu M’ của M trên d có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy .
Cách khác:
* Gọi H(a, b) là hình chiếu của M trên d.
* Vì điểm H thuộc đường thẳng d nên: a - b = 0 (1)
* Ta có HM vuông góc với d nên là một vecto chỉ phương của d.
Lại có: là 1 vecto pháp tuyến của d nên hai vecto cùng phương

Từ (1) và (2) suy ra