Bài 5 trang 80 SGK Hình học 10 nâng cao

Câu hỏi: Cho đường thẳng d có phương trình x - y = 0 và điểm M(2,1)

Câu a​

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm M.
Phương pháp giải:
- Chọn một điểm đi qua của d.
- Tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm trên qua M.
- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua điểm vừa tìm và song song với d.
Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d qua O(0,0) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right)\).
Gọi \(N\left( {{x_N};{y_N}} \right)\) là điểm đối xứng của O qua M thì M là trung điểm của ON, ta có:
\(\left\{ \matrix{
{x_M} = {{{x_O} + {x_N}} \over 2} \hfill \cr
{y_M} = {{{y_O} + {y_N}} \over 2} \hfill \cr} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_N} = 2{x_M} - {x_O} = 4 \hfill \cr
{y_N} = 2{y_M} - {y_O} = 2 \hfill \cr} \right.\)
Vậy N(4,2)
Đường thẳng đối xứng với d qua M là đường thẳng đi qua N(4,2) và song song với d nên có phương trình tổng quát là:
\(1.\left( {x - 4} \right) - 1.\left({y - 2} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow x - y - 2 = 0.\)

Câu b​

Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d.
Phương pháp giải:
- Viết pt đường thẳng d' đi qua M và vuông góc với d.
- Tìm giao điểm của d và d'.
Lời giải chi tiết:
Gọi d’ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với d thì d’ có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m = \left( {1; 1} \right)\) do đó d’ có phương trình tổng quát là:
\(1.\left( {x - 2} \right) + 1.\left({y - 1} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow x + y - 3 = 0\)
Hình chiếu M’ của M trên d có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
x - y = 0 \hfill \cr
x + y - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {3 \over 2} \hfill \cr
y = {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(M'\left( {{3 \over 2};{3 \over 2}} \right)\).
Cách khác:
* Gọi H(a, b) là hình chiếu của M trên d.
* Vì điểm H thuộc đường thẳng d nên: a - b = 0 (1)
* Ta có HM vuông góc với d nên \(\overrightarrow {MH} = \left( {a - 2; b - 1} \right)\) là một vecto chỉ phương của d.
Lại có: \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right)\) là 1 vecto pháp tuyến của d nên hai vecto \(\overrightarrow {MH} ,\overrightarrow n \) cùng phương
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{a - 2}}{1} = \dfrac{{b - 1}}{{ - 1}}\\ \Leftrightarrow - a + 2 = b - 1\\ \Leftrightarrow - a - b = - 3 \left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\ - a - b = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{3}{2}\\b = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)\(\Rightarrow H\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\)