Google
Câu hỏi: Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB, BC, CA là
\(\eqalign{
& AB:2x - 3y - 1 = 0; \cr
& BC:x + 3y + 7 = 0; \cr
& CA:5x - 2y + 1 = 0. \cr} \)
Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B.
\(\eqalign{
& AB:2x - 3y - 1 = 0; \cr
& BC:x + 3y + 7 = 0; \cr
& CA:5x - 2y + 1 = 0. \cr} \)
Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B.
Lời giải chi tiết
Hai đường thẳng AB, BC cắt nhau tại B nên tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình sau:
\(\left\{ \matrix{
2x - 3y - 1 = 0 \hfill \cr
x + 3y + 7 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
y = - {5 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(B\left( { - 2; - {5 \over 3}} \right)\)
Đường thẳng CA có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n (5; - 2)\) nên có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u (2; 5)\)
Đường cao kẻ từ đỉnh B vuông góc với CA nên nhận \(\overrightarrow u (2; 5)\) làm véc tơ pháp tuyến.
Phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B đi qua \(B\left( { - 2; - {5 \over 3}} \right)\) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow u (2; 5)\) là:
\(2.(x + 2) + 5.\left({y + {5 \over 3}} \right) = 0 \)\(\Leftrightarrow 2x + 5y + {{37} \over 3} = 0\)
Cách khác:
$\left\{\begin{array}{l}2 x-3 y-1=0 \\ x+3 y+7=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-2 \\ y=\frac{-5}{3}\end{array} \Rightarrow B\left(-2 ; \frac{-5}{3}\right)\right.\right.$
Tương tự tọa độ A nghiệm hệ:
$\left\{\begin{array}{l}2 x-3 y-1=0 \\ 5 x-2 y+1=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{-5}{11} \\ y=\frac{-7}{11}\end{array} \Rightarrow A\left(\frac{-5}{11} ; \frac{-7}{11}\right)\right.\right.$
Tọa độ C nghiệm hệ:
$\left\{\begin{array}{c}x+3 y+7=0 \\ 5 x-2 y+1=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=-2\end{array} \Rightarrow C(-1 ;-2)\right.\right.$
Đường cao kẻ từ đỉnh $\mathrm{B}$ đi qua $\mathrm{B}$ và nhận vecto
$\overrightarrow{A C}\left(\frac{-6}{11} ; \frac{-15}{11}\right)=\frac{-3}{11}(2 ; 5)$ làm vecto pháp tuyến;
chọn vecto pháp tuyến khác là $\vec{n}=(2 ; 5)$.
* Đường cao kẻ từ đỉnh $\mathrm{B}$ đi qua $\mathrm{B}$ và nhận vecto
$\overrightarrow{A C}\left(\frac{-6}{11} ; \frac{-15}{11}\right)=\frac{-3}{11}(2 ; 5)$ làm vecto pháp tuyến;
chọn vecto pháp tuyến khác là $\vec{n}=(2 ; 5)$.
Suy ra phương trình tổng quát của đường cao từ B là:
$2(x+2)+5\left(y+\frac{5}{3}\right)=0 \Leftrightarrow 2 x+5 y+\frac{37}{3}=0$
Hai đường thẳng AB, BC cắt nhau tại B nên tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình sau:
\(\left\{ \matrix{
2x - 3y - 1 = 0 \hfill \cr
x + 3y + 7 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
y = - {5 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(B\left( { - 2; - {5 \over 3}} \right)\)
Đường thẳng CA có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n (5; - 2)\) nên có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u (2; 5)\)
Đường cao kẻ từ đỉnh B vuông góc với CA nên nhận \(\overrightarrow u (2; 5)\) làm véc tơ pháp tuyến.
Phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B đi qua \(B\left( { - 2; - {5 \over 3}} \right)\) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow u (2; 5)\) là:
\(2.(x + 2) + 5.\left({y + {5 \over 3}} \right) = 0 \)\(\Leftrightarrow 2x + 5y + {{37} \over 3} = 0\)
Cách khác:
$\left\{\begin{array}{l}2 x-3 y-1=0 \\ x+3 y+7=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-2 \\ y=\frac{-5}{3}\end{array} \Rightarrow B\left(-2 ; \frac{-5}{3}\right)\right.\right.$
Tương tự tọa độ A nghiệm hệ:
$\left\{\begin{array}{l}2 x-3 y-1=0 \\ 5 x-2 y+1=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{-5}{11} \\ y=\frac{-7}{11}\end{array} \Rightarrow A\left(\frac{-5}{11} ; \frac{-7}{11}\right)\right.\right.$
Tọa độ C nghiệm hệ:
$\left\{\begin{array}{c}x+3 y+7=0 \\ 5 x-2 y+1=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=-2\end{array} \Rightarrow C(-1 ;-2)\right.\right.$
Đường cao kẻ từ đỉnh $\mathrm{B}$ đi qua $\mathrm{B}$ và nhận vecto
$\overrightarrow{A C}\left(\frac{-6}{11} ; \frac{-15}{11}\right)=\frac{-3}{11}(2 ; 5)$ làm vecto pháp tuyến;
chọn vecto pháp tuyến khác là $\vec{n}=(2 ; 5)$.
* Đường cao kẻ từ đỉnh $\mathrm{B}$ đi qua $\mathrm{B}$ và nhận vecto
$\overrightarrow{A C}\left(\frac{-6}{11} ; \frac{-15}{11}\right)=\frac{-3}{11}(2 ; 5)$ làm vecto pháp tuyến;
chọn vecto pháp tuyến khác là $\vec{n}=(2 ; 5)$.
Suy ra phương trình tổng quát của đường cao từ B là:
$2(x+2)+5\left(y+\frac{5}{3}\right)=0 \Leftrightarrow 2 x+5 y+\frac{37}{3}=0$