Bài 5 trang 134 SGK Giải tích 12

Câu hỏi: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thoả mãn điều kiện:

Câu a​

a) \(|z| = 1\);
Phương pháp giải:
+) Giả sử \(z = x + yi, (x, y \in \mathbb R)\), khi đó trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), điểm \(M(x; y)\) biểu diễn số phức \(z\).
+) \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\)
+) Phương trình đường thẳng có dạng: \(ax + by + c = 0.\)
+) Phương trình đường tròn có dạng: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left({y - b} \right)^2} = {R^2}.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(|z| = 1 \) \(⇔ \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 1 ⇔ {x^2} + {y^2} = 1\).
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \(O\), bán kính bằng \(1.\)

Câu b​

b) \(|z| ≤ 1\);
Lời giải chi tiết:
Ta có \(|z| ≤ 1 \) \(⇔ \sqrt {{x^2} + {y^2}} ≤ 1 ⇔ {x^2} + {y^2}≤ 1\).
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là hình tròn tâm \(O\), bán kính bằng \(1\) (kể cả các điểm trên đường tròn).

Câu c​

c) \(1 < |z| ≤ 2\);
Lời giải chi tiết:
Ta có \(1 < |z| ≤ 2 \) \(⇔ 1 < \sqrt {{x^2} + {y^2}} ≤ 2 \) \(⇔ 1 < {x^2} + {y^2}≤ 4\).
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là phần nằm giữa đường tròn tâm \(O\), bán kính bằng \(1\) (không kể điểm trên đường tròn này) và đường tròn tâm \(O\), bán kính bằng \(2\) (kể cả các điểm trên đường tròn này).

Câu d​

d) \(|z| = 1\) và phần ảo của \(z\) bằng \(1\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(|z| = 1 \) \(⇔  \sqrt {{x^2} + {y^2}}  = 1 \) \(⇔ {x^2} + {y^2}= 1\) và phần ảo của \(z\) bằng \(1\) tức \(y = 1\). Suy ra \(x = 0\) và \(y = 1.\)
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là điểm \(A(0; 1)\).