Bài 48 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Giải các hệ phương trình sau:

Câu a​

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} = 208 \hfill \cr 
xy = 96 \hfill \cr} \right.\)
Phương pháp giải:
Giải hệ đối xứng loại I:
- Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = S\\xy = P\end{array} \right.\)
- Tìm S, P.
- Khi đó x, y là nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\)
Lời giải chi tiết:
Hệ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left({x + y} \right)^2} - 2xy = 208\\
xy = 96
\end{array} \right.\)
Đặt \(S = x + y; P = xy\)
Ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
{S^2} - 2P = 208 \hfill \cr 
P = 96 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} = 400 \hfill \cr 
P = 96 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 20 \hfill \cr 
P = 96 \hfill \cr} \right. \hfill \cr 
\left\{ \matrix{
S = - 20 \hfill \cr 
P = 96 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
+ Với \(S = 20, P = 96\)  thì x, y là nghiệm phương trình:
\({X^2} - 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 8 \hfill \cr 
X = 12 \hfill \cr} \right.\)
Ta có nghiệm \((8,12)\) và \((12,8)\)
+ Với \(S = -20, P = 96\) thì x, y là nghiệm phương trình:
\({X^2} + 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = - 8 \hfill \cr 
X = - 12 \hfill \cr} \right.\)
Ta có nghiệm \((-8, -12)\) và \((-12, -8)\)
Vậy hệ có 4 nghiệm : \((8,12); (12,8); (-8, -12); (-12, -8)\)

Câu b​

\(\left\{ \matrix{
{x^2} - {y^2} = 55 \hfill \cr 
xy = 24 \hfill \cr} \right.\)
Phương pháp giải:
Rút y theo x từ phương trình thứ hai và thay vào phương trình thứ nhất.
Lời giải chi tiết:
Thay \(y = {{24} \over x}\) vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có :
\({x^2} - {{576} \over {{x^2}}} = 55 \Leftrightarrow {x^4} - 55{x^2} - 576 = 0\)
Đặt \(t = x^2 (t ≥  0)\), ta có phương trình:
\({t^2} - 55t - 576 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 64 \hfill \cr 
t = - 9 (\text{loại}) \hfill \cr} \right.\)
\(t = 64 ⇔x^2= 64 ⇔ x = ± 8\)
Nếu \(x = 8 ⇒ y = 3\)
Nếu \(x = -8 ⇒  y = -3\)
Vậy hệ có hai nghiệm \((8; 3)\) và \((-8;-3)\)