Bài 49 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao

Phương pháp giải
- Đặt hàm số f(x) = ax2​ + bx + c (a ≠ 0)
- Từ các điều kiện đã cho lập hệ phương trình ẩn a, b, c.
- Giải hệ và kết luận.
Lời giải chi tiết
Giả sử: f(x) = ax2​ + bx + c (a ≠ 0)
Parabol y = f(x) cắt trục tung tại điểm (0; -4) nên f(0) = -4 \( \Leftrightarrow a{. 0^2} + b. 0 + c =  - 4\)
⇒ c = -4
f(2) = 6 \( \Leftrightarrow a{. 2^2} + b. 2 + c = 6\)
⇒ 4a + 2b - 4 = 6 ⇒ 4a + 2b = 10
⇒ 2a + b = 5 (1)
f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow {b^2} - 4ac > 0 \Leftrightarrow {b^2} + 16a > 0\)
Khi đó, \({x_1} - {x_2} = 5 \Rightarrow \) (x1​ – x2​ )2​ = 25
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = 25\\
\Leftrightarrow {\left({{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 25
\end{array}\)
⇔ S2​ – 4P = 25
Với
\(\left\{ \matrix{
S = {x_1} + {x_2} = - {b \over a} \hfill \cr 
P = {x_1}{x_2} = {c \over a} = {{ - 4} \over a} \hfill \cr} \right.\)
Do đó:
\({\left( { - \frac{b}{a}} \right)^2} - 4.\frac{{ - 4}}{a} = 25\)\(\Leftrightarrow  {{{b^2}} \over {{a^2}}} + {{16} \over a} = 25\)
\(\Leftrightarrow {b^2} + 16a = 25{a^2} (2)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
2a + b = 5 \hfill \cr 
{b^2} + 16a = 25{a^2} \hfill \cr} \right.\)
Thay \(b = 5 – 2a\) vào (2), ta được:
\({(5 - 2a)^2} + 16a = 25{a^2}\)\(\Leftrightarrow 21{a^2} + 4a - 25 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr 
a = - {{25} \over {21}} \hfill \cr} \right.\)
Nếu \(a = 1 ⇒ b = 3\)
Nếu \(a =  - {{25} \over {21}} \Rightarrow b = {{155} \over {21}}\)
Vậy hàm số \(y = x^2+ 3x – 4\) và \(y =  - {{25} \over {21}}{x^2} + {{155} \over {21}}x - 4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.