Bài 12 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao

Câu hỏi: Giải các hệ phương trình

Câu a​

\(\left\{ \matrix{
{x^2} - 5xy + {y^2} = 7 \hfill \cr 
2x + y = 1 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Từ phương trình thứ hai của hệ, ta được \(y = 1- 2x\)
Thay vào phương trình thứ nhất ta được:
\(\eqalign{
& {x^2} - 5x(1 - 2x) + {(1 - 2x)^2} = 7 \cr 
& \Leftrightarrow 15{x^2} - 9x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
x = - {2 \over 5} \hfill \cr} \right. \cr} \)
+ Với \(x = 1\) thì \(y = 1 – 2.1 = -1\)
+ Với \(x =  - {2 \over 5} \Rightarrow y = 1 - 2.( - {2 \over 5}) = {9 \over 5}\)
Vậy hệ có hai nghiệm: \((-1,1)\) và \(( - {2 \over 5}; {9 \over 5})\)

Câu b​

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + x + y = 8 \hfill \cr 
x + y + xy = 5 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\
x + y + xy = 5
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left({x + y} \right)^2} - 2xy + \left({x + y} \right) = 8\\
\left({x + y} \right) + xy = 5
\end{array} \right.\)
Đặt \(S = x + y; P = xy\). Ta có:
\(\left\{ \matrix{
{S^2} - 2P + S = 8 \hfill \cr 
S + P = 5 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = 5 - S\\
{S^2} - 2\left({5 - S} \right) + S = 8
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 5 - S \hfill \cr 
{S^2} + 3S - 18 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = 5 - S\\
\left[ \begin{array}{l}
S = 3\\
S = - 6
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 3 \hfill \cr 
P = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr 
\left\{ \matrix{
S = - 6 \hfill \cr 
P = 11 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
+ Với S = 3, P = 2 thì (x; y) là hai nghiệm của phương trình
\({X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
X = 1\\
X = 2
\end{array} \right.\)
Do đó (x; y)=(2,1) hoặc (1,2).
+ Với S = -6, P = 11 vô nghiệm do S2​ – 4P < 0.
Vậy hệ có nghiệm (2; 1) và (1; 2).

Câu c​

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} - x + y = 2 \hfill \cr 
xy + x - y = - 1 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
\(HPT \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left({x - y} \right)^2} + 2xy - \left({x - y} \right) = 2\\
xy + \left({x - y} \right) = - 1
\end{array} \right.\)
Đặt \(S = x - y; P = xy\). Ta có:
\(\left\{ \matrix{
{S^2} + 2P - S = 2 \hfill \cr 
P + S = - 1 \hfill \cr} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = - 1 - S\\
{S^2} + 2\left({ - 1 - S} \right) - S = 2
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = -1 - S \hfill \cr 
{S^2} - 3S - 4 = 0 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = - 1 \hfill \cr 
P = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr 
\left\{ \matrix{
S = 4 \hfill \cr 
P = - 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
+ Với \(S = -1, P = 0\) thì
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - y = - 1\\
xy = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + \left({ - y} \right) = -1\\
x.\left({ - y} \right) = 0
\end{array} \right.\)
Do đó, \(x, -y\) là nghiệm phương trình:
\({X^2} + X = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 0 \hfill \cr 
X = - 1 \hfill \cr} \right.\)
Khi đó
\(\left[ \begin{array}{l}
\left({x; - y} \right) = \left({0; - 1} \right) \Rightarrow \left({x; y} \right) = \left({0; 1} \right)\\
\left({x; - y} \right) = \left({ - 1; 0} \right) \Rightarrow \left({x; y} \right) = \left({ - 1; 0} \right)
\end{array} \right.\)
+ Với \(S = 4, P = -5\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - y = 4\\
xy = - 5
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + \left({ - y} \right) = 4\\
x.\left({ - y} \right) = 5
\end{array} \right.\)
Do đó, \(x; -y\) là nghiệm phương trình:
X2​ – 4X + 5 = 0 (vô nghiệm)
Vậy hệ có nghiệm (0,1) và (-1,0)