Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu của S lên đáy ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABD. Mặt bên (SAB) tạo với đáy góc 60ο. Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD)
Lời giải chi tiết
+ Xác định góc của (SAB) và mặt phẳng đáy.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABD và E là hình chiếu của G lên AB. Ta có:
AB ⊥ SG & AB ⊥ GE⇒ AB ⊥ (SEG) ⇒ AB ⊥ SE.
SE ⊥ AB & GE ⊥ AB⇒ ∠((SAB),(ABCD)) = ∠(SEG) = 60o.
+ Xác định khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD).
Hạ GN ⊥ AD. Tương tự như trên, ta có: AD ⊥ GN & AD ⊥ SG⇒ AD ⊥ (SGN)
Hạ GH ⊥ SN, ta có GH ⊥ (SAD) suy ra khoảng cách từ G đến (SAD) là GH.
+ Tính GH.
Trong tam giác vuông SGN, ta có:
$\dfrac{1}{{G{H^2}}} = \dfrac{1}{{G{S^2}}} + \dfrac{1}{{G{N^2}}}$ (1)
Do GN // AB nên $\dfrac{{GN}}{{BA}} = \dfrac{{MG}}{{MB}} = \dfrac{1}{3}$.
Ta có: ${\rm{GN}} = \dfrac{{BA}}{3} = \dfrac{a}{3}$
Trong tam giác SGE, ta được: ${\rm{GS}} = {\rm{GE}}.{\rm{tan}}{60^\circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$
(do GE = GN). Thế vào (1) ta được:
$\dfrac{1}{{G{H^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{3}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{3}} \right)}^2}}}\left( {1 + \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{3}} \right)}^2}}} \cdot \dfrac{4}{3} \Rightarrow {\rm{GH}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}$
Ta có: M ∈(SAD) & MB = 3MG⇒ d(B,(SAD)) = 3d(G,(SAD)) = (a√3)/2.
+ Xác định góc của (SAB) và mặt phẳng đáy.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABD và E là hình chiếu của G lên AB. Ta có:
AB ⊥ SG & AB ⊥ GE⇒ AB ⊥ (SEG) ⇒ AB ⊥ SE.
SE ⊥ AB & GE ⊥ AB⇒ ∠((SAB),(ABCD)) = ∠(SEG) = 60o.
+ Xác định khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD).
Hạ GN ⊥ AD. Tương tự như trên, ta có: AD ⊥ GN & AD ⊥ SG⇒ AD ⊥ (SGN)
Hạ GH ⊥ SN, ta có GH ⊥ (SAD) suy ra khoảng cách từ G đến (SAD) là GH.
+ Tính GH.
Trong tam giác vuông SGN, ta có:
$\dfrac{1}{{G{H^2}}} = \dfrac{1}{{G{S^2}}} + \dfrac{1}{{G{N^2}}}$ (1)
Do GN // AB nên $\dfrac{{GN}}{{BA}} = \dfrac{{MG}}{{MB}} = \dfrac{1}{3}$.
Ta có: ${\rm{GN}} = \dfrac{{BA}}{3} = \dfrac{a}{3}$
Trong tam giác SGE, ta được: ${\rm{GS}} = {\rm{GE}}.{\rm{tan}}{60^\circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$
(do GE = GN). Thế vào (1) ta được:
$\dfrac{1}{{G{H^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{3}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{3}} \right)}^2}}}\left( {1 + \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{3}} \right)}^2}}} \cdot \dfrac{4}{3} \Rightarrow {\rm{GH}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}$
Ta có: M ∈(SAD) & MB = 3MG⇒ d(B,(SAD)) = 3d(G,(SAD)) = (a√3)/2.