Câu hỏi: Cho hình hộp nội tiếp trong một hình trụ cho trước, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng 300. Khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt phẳng bằng . Tính thể tích hình hộp đã cho và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình hộp, biết đường kính của đáy hình trụ bằng 5a.
Lời giải chi tiết
Vì hình hộp nội tiếp hình trụ nên là hình hộp chữ nhật, trục hình trụ là OO1 (đoạn nối tâm hai đáy của hình hộp) và khoảng cách từ OO1 đến mặt phẳng bằng nửa AD. Từ đó AD = 3a.
BD là đường kính của đường tròn đáy hình trụ nên BD = 5a, suy ra
, tức là AB = 4a,
Dễ thấy là góc giữa và mặt phẳng , theo giả thiết thì = 300, từ đó
Vậy
Do đó thể tích hình hộp đã cho là:
Gọi O’ là trung điểm của thì O’ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật và bán kính của mặt cầu đólà
Từ đó thể tích hình cầu phải tìm là
Vì hình hộp
BD là đường kính của đường tròn đáy hình trụ nên BD = 5a, suy ra
Dễ thấy
Vậy
Do đó thể tích hình hộp đã cho là:
Gọi O’ là trung điểm của
Từ đó thể tích hình cầu phải tìm là