Google
Câu hỏi: Từ một điểm \(M\) cố định ở bên ngoài đường tròn tâm \(O\) ta kẻ một tiếp tuyến \(MT\) và một cát tuyến \(MAB\) của đường tròn đó.
\(a)\) Chứng minh rằng ta luôn có \(MT^2= MA.MB\) và tích này không phụ thuộc vị trí của cát tuyến \(MAB.\)
\(b)\) Ở hình \(2\) khi cho \(MB = 20 cm,\)\( MB = 50 cm,\) tính bán kính đường tròn.
\(a)\) Chứng minh rằng ta luôn có \(MT^2= MA.MB\) và tích này không phụ thuộc vị trí của cát tuyến \(MAB.\)
\(b)\) Ở hình \(2\) khi cho \(MB = 20 cm,\)\( MB = 50 cm,\) tính bán kính đường tròn.
Phương pháp giải
Ta sử dụng kiến thức:
+) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
+) Hai tam giác đồng dạng thì ta có các cạnh tương ứng tỉ lệ.
Lời giải chi tiết
\(a)\)
Xét \(∆MTA\) và \(∆MTB,\) có:
+) \(\widehat M\) chung
+) \(\widehat {MTA} = \widehat {TBA}\) (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây), hay \(\widehat {MTA} = \widehat {TBM}\)
Suy ra: \(∆MAT\) đồng dạng \(∆MTB\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{MT} \over {MA}} = {{MB} \over {MT}}\)
\( \Rightarrow M{T^2} = MA.MB\)
Vì \(MA.MB=MT^2\) mà \(MT\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) nên tích \(MA.MB\) không phụ thuộc vị trí của cát tuyến \(MAB.\)
\(b)\)
Gọi bán kính \((O)\) là \(R\)
\(MB = MA + AB = MA + 2R\)
\( \Rightarrow MA = MB - 2R\)
\(M{T^2} = MA.MB\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow M{T^2} = \left( {MB - 2R} \right)MB\)
\( \Rightarrow R = \displaystyle {{M{B^2} - M{T^2}} \over {2MB}}\)
\( =\displaystyle {{2500 - 400} \over {2.50}} = 21 (cm)\)
Ta sử dụng kiến thức:
+) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
+) Hai tam giác đồng dạng thì ta có các cạnh tương ứng tỉ lệ.
Lời giải chi tiết
\(a)\)
Xét \(∆MTA\) và \(∆MTB,\) có:
+) \(\widehat M\) chung
+) \(\widehat {MTA} = \widehat {TBA}\) (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây), hay \(\widehat {MTA} = \widehat {TBM}\)
Suy ra: \(∆MAT\) đồng dạng \(∆MTB\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{MT} \over {MA}} = {{MB} \over {MT}}\)
\( \Rightarrow M{T^2} = MA.MB\)
Vì \(MA.MB=MT^2\) mà \(MT\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) nên tích \(MA.MB\) không phụ thuộc vị trí của cát tuyến \(MAB.\)
\(b)\)
Gọi bán kính \((O)\) là \(R\)
\(MB = MA + AB = MA + 2R\)
\( \Rightarrow MA = MB - 2R\)
\(M{T^2} = MA.MB\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow M{T^2} = \left( {MB - 2R} \right)MB\)
\( \Rightarrow R = \displaystyle {{M{B^2} - M{T^2}} \over {2MB}}\)
\( =\displaystyle {{2500 - 400} \over {2.50}} = 21 (cm)\)