Google
Câu hỏi: Trong không gian $\text{Ox}yz$,cho hai điểm $A\left( -2;-1;2 \right)$, $B(2;-1;4)$ và mặt phẳng $(P):z-1=0$. Điểm $M\left( a;b;c \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$ và có diện tích lớn nhất. Tính $T=2a-3b+c$.
A. $0$.
B. $3$.
C. $6$.
D. $2$.
A. $0$.
B. $3$.
C. $6$.
D. $2$.
Ta có $M\left( a;b;c \right)\in (P)$ nên ta có $c-1=0\Leftrightarrow c=1$
$\Rightarrow M\left( a;b;1 \right)$
Tam giác $MAB$ vuông tại $M$ nên ta có $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$
Có $\overrightarrow{MA} \left( -2-a;-1-b;1 \right) \overrightarrow{MB} \left( 2-a;-1-b;3 \right) $
$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+3=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=1 \left( 1 \right)$
Diện tích tam giác $MAB$ bằng $\dfrac{1}{2}MA.MB$
Ta có $\dfrac{1}{2}MA.MB\le \dfrac{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}{4}=\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}$
Diện tích tam giác $MAB$ đạt giá trị lớn nhất là $\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi $MA=MB$. Suy ra $M{{A}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}$
Có $AB=\sqrt{20}$ $\Rightarrow M{{A}^{2}}=10\Leftrightarrow {{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+1=10\Leftrightarrow {{a}^{2}}+4a+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=5 \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix}
{{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=1 \\
{{a}^{2}}+4a+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=5 \\
\end{matrix} \right.$
Giải hệ ta được $\left\{ \begin{matrix}
a=1 \\
b=-1 \\
\end{matrix} \right.$
Vậy $T=2a-3b+c=2.1-3\left( -1 \right)+1=6$
$\Rightarrow M\left( a;b;1 \right)$
Tam giác $MAB$ vuông tại $M$ nên ta có $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$
Có $\overrightarrow{MA} \left( -2-a;-1-b;1 \right) \overrightarrow{MB} \left( 2-a;-1-b;3 \right) $
$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+3=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=1 \left( 1 \right)$
Diện tích tam giác $MAB$ bằng $\dfrac{1}{2}MA.MB$
Ta có $\dfrac{1}{2}MA.MB\le \dfrac{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}{4}=\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}$
Diện tích tam giác $MAB$ đạt giá trị lớn nhất là $\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi $MA=MB$. Suy ra $M{{A}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}$
Có $AB=\sqrt{20}$ $\Rightarrow M{{A}^{2}}=10\Leftrightarrow {{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+1=10\Leftrightarrow {{a}^{2}}+4a+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=5 \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix}
{{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=1 \\
{{a}^{2}}+4a+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=5 \\
\end{matrix} \right.$
Giải hệ ta được $\left\{ \begin{matrix}
a=1 \\
b=-1 \\
\end{matrix} \right.$
Vậy $T=2a-3b+c=2.1-3\left( -1 \right)+1=6$
Đáp án C.