Bài 23 Trang 162 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 3.} \) Tính \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} dx\) trong các trường hợp sau:

Câu a​

f là hàm số lẻ;
Phương pháp giải:
f là hàm số lẻ thì \(f\left( { - x} \right) =  - f\left(x \right)\)
Lời giải chi tiết:
Tính \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} dx\).
Đặt \(x =  - u \Rightarrow dx =  - du\).
Đổi cận \(x =  - 1 \Rightarrow u = 1, x = 0 \Rightarrow u = 0\)
\(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_1^0 {f\left({ - u} \right)\left({ - du} \right)} \)\( = \int\limits_0^1 {f\left( { - u} \right)du}  = \int\limits_0^1 {\left[ { - f\left(u \right)} \right]du} \)
(do f là hàm số lẻ nên f(-u)=-f(u))
\(=  - \int\limits_0^1 {f\left( u \right)du} =  - \int\limits_0^1 {f\left(x \right)dx }=  - 3. \)

Câu b​

f là hàm số chẵn.
Phương pháp giải:
f là hàm số chẵn thì \(f\left( { - x} \right) = f\left(x \right)\)
Lời giải chi tiết:
Tính \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} dx\)
Đặt \(x =  - u \Rightarrow dx =  - du\).
Đổi cận \(x =  - 1 \Rightarrow u = 1, x = 0 \Rightarrow u = 0\).
\(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx = } \int\limits_{  1}^0 {f\left({ - u} \right)\left({ - du} \right) }\)
\( = \int\limits_0^1 {f\left( { - u} \right)du}  = \int\limits_0^1 { {  f\left(u \right)} du} \) \(=\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx }=  3. \)
(do f là hàm số chẵn nên f(-u)=f(u))