Bài 25 Trang 162 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi: Tính các tích phân sau :

Câu a​

\(\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {x\cos 2xdx;} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp từng phần \(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr 
dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr 
dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr 
v = {1 \over 2}\sin 2x \hfill \cr} \right.\)
Do đó \(\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {x\cos 2xdx }\) \(= \left. {{1 \over 2}x\sin 2x} \right|_0^{{\pi  \over 4}}  - {1 \over 2}\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {\sin 2xdx} \)
\(= {\pi  \over 8} + \left. {{1 \over 4}\cos 2x} \right|_0^{{\pi  \over 4}} \) \(= {\pi  \over 8} + {1 \over 4}\left( { - 1} \right) = {\pi  \over 8} - {1 \over 4}.\)

Câu b​

\(\int\limits_0^1 {{{\ln \left( {2 - x} \right)} \over {2 - x}}} dx;\)
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp đổi biến \(u = \ln \left( {2 - x} \right) \)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(u = \ln \left( {2 - x} \right) \Rightarrow du = {{ - 1} \over {2 - x}}dx\)

\(\int\limits_0^1 {{{\ln \left( {2 - x} \right)} \over {2 - x}}} dx =  - \int\limits_{\ln 2}^0 {udu}  = \int\limits_0^{\ln 2} {udu}\) \(  = \left. {{{{u^2}} \over 2}} \right|_0^{\ln 2} = {1 \over 2}{\left( {\ln 2} \right)^2}\)

Câu c​

\(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\cos xdx;} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp từng phần \(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr 
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr 
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr 
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\)
Do đó \(I = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\cos xdx }\) \( = {x^2} \left. {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|_0^{{\pi  \over 2}}- 2\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\sin xdx }\) \(= {{{\pi ^2}} \over 4}  - 2{I_1}\)
Với \({I_1} = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\sin xdx} \)
Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr 
dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr 
v = - \cos x \hfill \cr} \right.\)
Do đó \({I_1} =  - x\left. {\cos x} \right|_0^{{\pi  \over 2}} + \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\cos xdx}\)
\(=  - \frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2} + 0\cos 0 + \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} \) \(= 0 + \sin \frac{\pi }{2} - \sin 0 = 1\)
Vậy \(I = {{{\pi ^2}} \over 4} - 2\)

Câu d​

\(\int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} dx;} \)
Phương pháp giải:
Đổi biến \(u = \sqrt {{x^3} + 1}\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(u = \sqrt {{x^3} + 1}  \Rightarrow {u^2} = {x^3} + 1 \) \(\Rightarrow 2udu = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = {2 \over 3}udu\)

\(\int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} dx}  = {2 \over 3}\int\limits_1^{\sqrt 2 } {{u^2}du = \left. {{{2{u^3}} \over 9}} \right|} _1^{\sqrt 2 } \) \(= {2 \over 9}\left( {2\sqrt 2  - 1} \right)\)

Câu e​

\(\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx.} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp từng phần \(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr 
dv = {x^2}dx \hfill \cr} \right. \)
Lời giải chi tiết:
Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr 
dv = {x^2}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {{dx} \over x} \hfill \cr 
v = {{{x^3}} \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Do đó \(\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx = \left. {{{{x^3}} \over 3}\ln x} \right|} _1^e - {1 \over 3}\int\limits_1^e {{x^2}dx }\) \(= {{{e^3}} \over 3} - \left. {{1 \over 9}{x^3}} \right| _1^e  = \frac{{{e^3}}}{3} - \frac{1}{9}\left( {{e^3} - 1} \right)\) \(= {{2{e^3} + 1} \over 9}\)