Bài 2 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 11

Câu hỏi: Chứng minh rằng với  ta luôn có:

Câu a​

 chia hết cho ;
Phương pháp giải:
Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.
Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với .
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến .
Khi đó đẳng thức đúng với mọi .
Lời giải chi tiết:
Đặt 
Với thì chia hết cho
Giả sử với ,
Ta phải chứng minh rằng
Thật vậy :




Theo giả thiết quy nạp thì
Mà nên  .
Vậy  chia hết cho  với mọi .
Cách khác:
Chứng minh trực tiếp.
Có: n3​ + 3n2​ + 5n
= n.(n2​ + 3n + 5)
= n.(n2​ + 3n + 2 + 3)
= n.(n2​ + 3n + 2) + 3n
= n.(n + 1)(n + 2) + 3n.
Mà: n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)
và 3n ⋮ 3
⇒ n3​ + 3n2​ + 5n = n(n + 1)(n + 2) + 3n ⋮ 3.
Vậy n3​ + 3n2​ + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*.

Câu b​

 chia hết cho
Lời giải chi tiết:
Đặt
Với  nên
Giả sử với thì  chia hết cho .
Ta phải chứng minh .
Thật vậy, ta có:







Theo giả thiết quy nạp thì  nên
Mặt khác , nên
Vậy với mọi 

Câu c​

 chia hết cho .
Lời giải chi tiết:
Đặt
Với , ta có nên  
Giả sử với , chia hết cho 6.
Ta phải chứng minh  6
Thật vậy, ta có





Theo giả thiết quy nạp thì   , mặt khác là số chẵn nên , do đó
Vậy chia hết cho với mọi .
Cách khác:
Chứng minh trực tiếp.
Có: n3​ + 11n
= n3​ – n + 12n
= n(n2​ – 1) + 12n
= n(n – 1)(n + 1) + 12n.
Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3
⇒ n(n – 1)(n + 1) ⋮ 6.
Lại có: 12n ⋮ 6
⇒ n3​ + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n ⋮ 6.