Google
Câu hỏi: Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh \(AD\) và \(BC\) sao cho \(\dfrac{IA}{ID} = \dfrac{JB}{JC}\). Chứng minh rằng \(IJ\) luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.
Phương pháp giải
Sử dụng định lý talet.
Sử dụng tính chất: Nếu đường thẳng \(d\) không năm trong mặt phẳng \((\alpha)\) và \(d\) song song với đường thẳng \(d’\) nằm trong \((\alpha)\) thì \(d\) song song với \((\alpha)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}d \not\subset (\alpha)\\d\parallel d'\\d' \subset (\alpha)\end{array} \right. \Rightarrow d\parallel (\alpha)\)
Sử dụng tính chất khi \((\alpha)\) song song với \((\beta)\) thì \((\alpha)\) sẽ song song với mọi đường thẳng nằm trong \((\beta)\).
Lời giải chi tiết
Qua \(I\) kẻ đường thẳng song song với \(CD\) cắt \(AC\) tại \(H\) nên ta có:
\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{IA}{ID}\).
Mà \(\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{JB}{JC}\).
Từ đó suy ra \(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{JB}{JC}\).
Theo định lý Talet suy ra \(HJ\parallel AB\) mà \(HJ\subset (IJH)\) \(\Rightarrow AB\parallel (IJH)\) \(\text{ (1)}\)
Theo cách dựng \(IH\parallel CD\), \(IH\subset (IJH)\) \(\Rightarrow CD\parallel (IJH)\) \(\text{ (2)}\)
Từ \(\text{(1)}\) và \(\text{(2)}\) suy ra \((IJH)\parallel AB, CD\).
Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng đi qua \(AB\) và song song với \(CD\).
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}(\alpha)\parallel ({\rm{IJ}}H)\\{\rm{IJ}} \subset ({\rm{IJ}}H)\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{IJ}}\parallel (\alpha)\)
Vậy \(IJ\) song song với mặt phẳng \((\alpha)\) cố định.
Sử dụng định lý talet.
Sử dụng tính chất: Nếu đường thẳng \(d\) không năm trong mặt phẳng \((\alpha)\) và \(d\) song song với đường thẳng \(d’\) nằm trong \((\alpha)\) thì \(d\) song song với \((\alpha)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}d \not\subset (\alpha)\\d\parallel d'\\d' \subset (\alpha)\end{array} \right. \Rightarrow d\parallel (\alpha)\)
Sử dụng tính chất khi \((\alpha)\) song song với \((\beta)\) thì \((\alpha)\) sẽ song song với mọi đường thẳng nằm trong \((\beta)\).
Lời giải chi tiết
Qua \(I\) kẻ đường thẳng song song với \(CD\) cắt \(AC\) tại \(H\) nên ta có:
\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{IA}{ID}\).
Mà \(\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{JB}{JC}\).
Từ đó suy ra \(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{JB}{JC}\).
Theo định lý Talet suy ra \(HJ\parallel AB\) mà \(HJ\subset (IJH)\) \(\Rightarrow AB\parallel (IJH)\) \(\text{ (1)}\)
Theo cách dựng \(IH\parallel CD\), \(IH\subset (IJH)\) \(\Rightarrow CD\parallel (IJH)\) \(\text{ (2)}\)
Từ \(\text{(1)}\) và \(\text{(2)}\) suy ra \((IJH)\parallel AB, CD\).
Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng đi qua \(AB\) và song song với \(CD\).
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}(\alpha)\parallel ({\rm{IJ}}H)\\{\rm{IJ}} \subset ({\rm{IJ}}H)\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{IJ}}\parallel (\alpha)\)
Vậy \(IJ\) song song với mặt phẳng \((\alpha)\) cố định.