Câu hỏi: Cho hai đường thẳng chéo nhau
a) Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’ , M, M’, M1. Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A’M’ và góc
b) Chứng minh rằng khi x thay đổi mặt cầu tâm O luôn luôn chứa một đường tròn cố định.
a) Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’ , M, M’, M1. Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A’M’ và góc
b) Chứng minh rằng khi x thay đổi mặt cầu tâm O luôn luôn chứa một đường tròn cố định.
Phương pháp giải
Chứng minh ba điểm
Tình bán kính và suy ra diện tích theo công thức
Lời giải chi tiết
A) Theo giả thiết ta có:
Do đó 5 điểm A, A’, M, M’ , M1 cùng thuộc mặt cầu (S) tâm O, với O là trung điểm của A’M và có bán kính
Mặt khác ta có A’M2 = A’A2 + AM2, trong đó
Do đó
Mặt cầu tâm O có bán kính
Diện tích của mặt cầu tâm O là:
b) Gọi I là trung điểm của đoạn AA’. Ta có IO //
Mặt cầu tâm O đi qua hai điểm cố định A, A’, có tâm di động trên đường trung trực d cố định của đoạn AA’.
Vậy mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn cố định tâm I có đường kính AA’ nằm trong mặt phẳng AA’ và vuông góc với d.
Chứng minh ba điểm
Tình bán kính và suy ra diện tích theo công thức
Lời giải chi tiết
A) Theo giả thiết ta có:
Do đó 5 điểm A, A’, M, M’ , M1 cùng thuộc mặt cầu (S) tâm O, với O là trung điểm của A’M và có bán kính
Mặt khác ta có A’M2 = A’A2 + AM2, trong đó
Do đó
Mặt cầu tâm O có bán kính
Diện tích của mặt cầu tâm O là:
b) Gọi I là trung điểm của đoạn AA’. Ta có IO //
Mặt cầu tâm O đi qua hai điểm cố định A, A’, có tâm di động trên đường trung trực d cố định của đoạn AA’.
Vậy mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn cố định tâm I có đường kính AA’ nằm trong mặt phẳng AA’ và vuông góc với d.