Bài 17 trang 40 SBT Hình học 10 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hai điểm cố định \(A, B\) có khoảng cách bằng \(a.\)

Câu a​

Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = k\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(O\) là trung điểm cả \(AB\) thì \(\overrightarrow {OA}  =  - \overrightarrow {OB} \).
Với mọi điểm \(M\) ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \\ = (\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA}).(\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB})\\ = (\overrightarrow {MO}  - \overrightarrow {OB}).(\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB})\\= M{O^2} - O{B^2} \\= M{O^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}.\end{array}\)
Từ đó
\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = k \)
\(\Leftrightarrow M{O^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = k\)
\(\Leftrightarrow   M{O^2} =  \dfrac{{{a^2}}}{4} + k.  (*)\)
Ta có \(O\) cố định, \(\dfrac{{{a^2}}}{4} + k\) là số không đổi nên:
- Nếu \(k <  - \dfrac{{{a^2}}}{4}\)thì tập các điểm \(M\) là tập các điểm rỗng.
- Nếu \(k =  - \dfrac{{{a^2}}}{4}\)thì tập các điểm \(M\) chỉ gồm một điểm \(O\).
- Nếu \(k >  - \dfrac{{{a^2}}}{4}\) thì tập các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + 4k} .\)

Câu b​

Tìm tập hợp các điểm \(N\) sao cho \(\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB}  = 2{a^2}\).
Lời giải chi tiết:
Lấy điểm \(C\) sao cho \(\overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AB} \). Khi đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 2{\overrightarrow {AB} ^2} = 2{a^2}.\)
Từ đó có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB}  = 2{a^2}\\\Leftrightarrow    \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}\\\Leftrightarrow    \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AC}) = 0\\\Leftrightarrow  \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CN}  = 0    \Leftrightarrow    CN \bot AB.\end{array}\)
Vậy tập hợp các điểm \(N\) là đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(AB\) tại điểm \(C.\)