Google
Câu hỏi: Cho ba vectơ \(\overrightarrow a , \overrightarrow b , \overrightarrow c \) khác \(\overrightarrow 0 \). Trong trường hợp nào đẳng thức sau đây đúng: \((\overrightarrow a .\overrightarrow b)\overrightarrow c = \overrightarrow a (\overrightarrow b .\overrightarrow c)\)?
Lời giải chi tiết
Giả sử \((\overrightarrow a .\overrightarrow b)\overrightarrow c = \overrightarrow a (\overrightarrow b .\overrightarrow c)\). Nếu \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\) thì \(\overrightarrow b .\overrightarrow c = 0\) (vì \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \)). Vậy cả hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow c \) cùng vuông góc với \(\overrightarrow b \) hay \(\overrightarrow a = k\overrightarrow c \). Nếu \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \ne 0\) thì \(\overrightarrow b .\overrightarrow c \ne 0\). Khi đó \(\overrightarrow a = \left( {\dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\overrightarrow b .\overrightarrow c }}} \right).\overrightarrow c \) hay \(\overrightarrow a = k\overrightarrow c \).
Ngược lại nếu \(\overrightarrow a = k\overrightarrow c \) thì
\((\overrightarrow a .\overrightarrow b)\overrightarrow c = (k\overrightarrow c .\overrightarrow b)\overrightarrow c\)
\( = (\overrightarrow b .\overrightarrow c)k\overrightarrow c \)
\(= (\overrightarrow b .\overrightarrow c)\overrightarrow a\)
\( = \overrightarrow a (\overrightarrow b .\overrightarrow c).\)
Như vậy, đẳng thức \((\overrightarrow a .\overrightarrow b)\overrightarrow c = \overrightarrow a (\overrightarrow b .\overrightarrow c)\) đúng khi và chỉ khi có số k để \(\overrightarrow a = k\overrightarrow c \).
Giả sử \((\overrightarrow a .\overrightarrow b)\overrightarrow c = \overrightarrow a (\overrightarrow b .\overrightarrow c)\). Nếu \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\) thì \(\overrightarrow b .\overrightarrow c = 0\) (vì \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \)). Vậy cả hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow c \) cùng vuông góc với \(\overrightarrow b \) hay \(\overrightarrow a = k\overrightarrow c \). Nếu \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \ne 0\) thì \(\overrightarrow b .\overrightarrow c \ne 0\). Khi đó \(\overrightarrow a = \left( {\dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\overrightarrow b .\overrightarrow c }}} \right).\overrightarrow c \) hay \(\overrightarrow a = k\overrightarrow c \).
Ngược lại nếu \(\overrightarrow a = k\overrightarrow c \) thì
\((\overrightarrow a .\overrightarrow b)\overrightarrow c = (k\overrightarrow c .\overrightarrow b)\overrightarrow c\)
\( = (\overrightarrow b .\overrightarrow c)k\overrightarrow c \)
\(= (\overrightarrow b .\overrightarrow c)\overrightarrow a\)
\( = \overrightarrow a (\overrightarrow b .\overrightarrow c).\)
Như vậy, đẳng thức \((\overrightarrow a .\overrightarrow b)\overrightarrow c = \overrightarrow a (\overrightarrow b .\overrightarrow c)\) đúng khi và chỉ khi có số k để \(\overrightarrow a = k\overrightarrow c \).