Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) có \(AB =c, BC=a, CA=b\). Gọi \(M\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {BC} \). Tính độ dài đoạn thẳng \(AM\). Xét trường hợp đặc biệt khi \(k = \dfrac{1}{2}\).
Lời giải chi tiết
Từ điều kiện \(\overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {BC} \), ta suy ra
\(\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} = k(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB})\) hay \(\overrightarrow {AM} = (1 - k)\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {AC} .\)
Bởi vậy
\(\begin{array}{l}A{M^2} = {\overrightarrow {AM} ^2}\\ = {\left[ {(1 - k)\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {AC} } \right]^2}\\= {(1 - k)^2}{\overrightarrow {AB} ^2} + {k^2}{\overrightarrow {AC} ^2} + 2k(1 - k)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = {(1 - k)^2}{c^2} + {k^2}{b^2} + 2k(1 - k).\dfrac{1}{2}\left({{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)\\ = (1 - k){c^2} + k{b^2} - k(1 - k){a^2}.\end{array}\)
Trong trường hợp \(k = \dfrac{1}{2}\) thì \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC, AM\) là đường trung tuyến. Khi đó ta có công thức trung tuyến: \(AM = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\).
Từ điều kiện \(\overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {BC} \), ta suy ra
\(\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} = k(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB})\) hay \(\overrightarrow {AM} = (1 - k)\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {AC} .\)
Bởi vậy
\(\begin{array}{l}A{M^2} = {\overrightarrow {AM} ^2}\\ = {\left[ {(1 - k)\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {AC} } \right]^2}\\= {(1 - k)^2}{\overrightarrow {AB} ^2} + {k^2}{\overrightarrow {AC} ^2} + 2k(1 - k)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = {(1 - k)^2}{c^2} + {k^2}{b^2} + 2k(1 - k).\dfrac{1}{2}\left({{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)\\ = (1 - k){c^2} + k{b^2} - k(1 - k){a^2}.\end{array}\)
Trong trường hợp \(k = \dfrac{1}{2}\) thì \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC, AM\) là đường trung tuyến. Khi đó ta có công thức trung tuyến: \(AM = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\).