Google
Câu hỏi: Cho hai phân thức \(\displaystyle {{{x^3} - {x^2} - x + 1} \over {{x^4} - 2{x^2} + 1}}\) , \(\displaystyle {{5{x^3} + 10{x^2} + 5x} \over {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}}\). Theo bài tập 8, có vô số cặp phân thức có cùng mẫu thức và bằng cặp phân thức đã cho. Hãy tìm cặp phân thức như thế với mẫu thức là đa thức có bậc thấp nhất.
Phương pháp giải
Để tìm được phân thức thỏa mãn yêu cầu của bài toán thực chất là ta thực hiện phép rút gọn phân thức đã cho về dạng tối giản.
Lời giải chi tiết
+) \(\displaystyle {{{x^3} - {x^2} - x + 1} \over {{x^4} - 2{x^2} + 1}}\)
\( \displaystyle = {{{x^2}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} \)
\( = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{{\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \right]}^2}}}\)
\( \displaystyle = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x +1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \)
\(\displaystyle = \frac{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}= {1 \over {x + 1}}\)
+) \(\displaystyle {{5{x^3} + 10{x^2} + 5x} \over {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}} \)
\(\displaystyle = {{5x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \)
\(\displaystyle = {{5x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = {{5x} \over {x + 1}}\)
Vậy cặp phân thức cần tìm là \(\displaystyle {1 \over {x + 1}}\) và \(\displaystyle {{5x} \over {x + 1}}\).
Để tìm được phân thức thỏa mãn yêu cầu của bài toán thực chất là ta thực hiện phép rút gọn phân thức đã cho về dạng tối giản.
Lời giải chi tiết
+) \(\displaystyle {{{x^3} - {x^2} - x + 1} \over {{x^4} - 2{x^2} + 1}}\)
\( \displaystyle = {{{x^2}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} \)
\( = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{{\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \right]}^2}}}\)
\( \displaystyle = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x +1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \)
\(\displaystyle = \frac{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}= {1 \over {x + 1}}\)
+) \(\displaystyle {{5{x^3} + 10{x^2} + 5x} \over {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}} \)
\(\displaystyle = {{5x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \)
\(\displaystyle = {{5x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = {{5x} \over {x + 1}}\)
Vậy cặp phân thức cần tìm là \(\displaystyle {1 \over {x + 1}}\) và \(\displaystyle {{5x} \over {x + 1}}\).