Bài 1.9 trang 11 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2 - {\sin ^2}x - {\sin ^2}\left({a + x} \right)\) \(- 2\cos a\cos x\cos \left( {a + x} \right)\)

Câu a​

Tìm đạo hàm của hàm số f(x)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
$\begin{array}{l}
{f^\prime }\left( x \right) = - 2\sin x\cos x - 2\sin \left( {a + x} \right)\cos \left( {a + x} \right) - 2\cos a\left[ { - \sin x\cos \left( {a + x} \right) + \cos x\left( { - \sin \left( {a + x} \right)} \right)} \right]\\
= - \sin 2x - \sin \left( {2a + 2x} \right) + 2\cos a\left[ {\sin x\cos \left( {a + x} \right) + \cos x\sin \left( {a + x} \right)} \right]\\
= - \left[ {\sin 2x + \sin \left( {2a + 2x} \right)} \right] + 2\cos a\sin \left( {2x + a} \right)\\
= - 2\sin \left( {2x + a} \right)\cos a + 2\cos a\sin \left( {2x + a} \right)\\
= 0
\end{array}$
Vậy \(f'\left( x \right) = 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Câu b​

Từ a) suy ra rằng hàm số f lấy giá trị không đổi trên R và tính giá trị không đổi đó.
Lời giải chi tiết:
Từ a) suy ra rằng f lấy giá trị ko đổi trên R. Do đó
\(f(x) = f(0) = 2 - si{n^2}a - 2{\cos ^2}a\)
\(= {\sin ^2}a\) với mọi x ∈ R.
Vậy \(f(x) = {\sin ^2}a\) với mọi x ∈ R.