Google
Câu hỏi: Cho hai hàm số: \(f(x) = - {1 \over 4}{x^2} + x + {1 \over 4}\) và \(g(x) = \sqrt {{x^2} - x + 1} \)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = - \frac{1}{2}x + 1\\g'\left(x \right) = \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\end{array}\)
(P) và (C) tiếp xúc nhau \(\Leftrightarrow \) hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left(x \right)\\f'\left(x \right) = g'\left(x \right)\end{array} \right.\) có nghiệm
Xét hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left(x \right)\\f'\left(x \right) = g'\left(x \right)\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{4}{x^2} + x + \frac{1}{4} = \sqrt {{x^2} - x + 1} \\ - \frac{1}{2}x + 1 = \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\end{array} \right.\)
Thay \(x = 1\) vào hệ trên ta thấy thỏa mãn.
Do đó hệ có nghiệm \(x = 1\).
Vậy (P) và (C) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ \(x = 1\).
Lời giải chi tiết:
Tại \(A\left( {1; 1} \right)\) có: \(f'\left( 1 \right) = g'\left(1 \right) = \frac{1}{2}\) nên phương trình tiếp tuyến là:
\(y = \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right) + 1\) hay \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\).
Lời giải chi tiết:
Đặt \(h(x) = {x \over 2} + {1 \over 2}\) ta có
\(g(x) - h(x) = \sqrt {{x^2} - x + 1} - {{x + 1} \over 2}\)
- Với \(x + 1 \le 0\) hay \(x \le - 1\) , ta có \(g(x) - h(x) > 0\)
- Với \(x + 1 > 0\) hay \(x > - 1\) ta có:
\(g(x) - h(x) > 0\)
\(\eqalign{& \Leftrightarrow g(x) > h(x) \cr& \Leftrightarrow {g^2}(x) > {h^2}(x) \cr& \Leftrightarrow 4({x^2} - x + 1) > {\left({x + 1} \right)^2} \cr& \Leftrightarrow 3{\left({x - 1} \right)^2} > 0 \cr} \)
Do đó, \(g(x) - h(x) \ge 0\) với mọi \(x \in R\) và chỉ có đẳng thức khi x = 1 hay (C) luôn nằm phía trên (D).
Lại có:
\(\begin{array}{l}
f\left(x \right) - h\left(x \right)\\
= - \frac{1}{4}{x^2} + x + \frac{1}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\\
= - \frac{1}{4}{x^2} + \frac{x}{2} - \frac{1}{4}\\
= - \frac{1}{4}\left({{x^2} - 2x + 1} \right)\\
= - \frac{1}{4}{\left({x - 1} \right)^2} \le 0,\forall x
\end{array}\)
Nên (P) luôn nằm phía dưới (D).
Vậy ta có đpcm.
Câu a
Chứng minh rằng đồ thị (P) của hàm số f và đồ thị (C) của hàm số g tiếp xúc với nhau tại điểm A có hoành độ x = 1.Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = - \frac{1}{2}x + 1\\g'\left(x \right) = \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\end{array}\)
(P) và (C) tiếp xúc nhau \(\Leftrightarrow \) hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left(x \right)\\f'\left(x \right) = g'\left(x \right)\end{array} \right.\) có nghiệm
Xét hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left(x \right)\\f'\left(x \right) = g'\left(x \right)\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{4}{x^2} + x + \frac{1}{4} = \sqrt {{x^2} - x + 1} \\ - \frac{1}{2}x + 1 = \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\end{array} \right.\)
Thay \(x = 1\) vào hệ trên ta thấy thỏa mãn.
Do đó hệ có nghiệm \(x = 1\).
Vậy (P) và (C) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ \(x = 1\).
Câu b
Viết phương trình tiếp tuyến chung (D) của (P) và (C) tại điểm A.Lời giải chi tiết:
Tại \(A\left( {1; 1} \right)\) có: \(f'\left( 1 \right) = g'\left(1 \right) = \frac{1}{2}\) nên phương trình tiếp tuyến là:
\(y = \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right) + 1\) hay \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\).
Câu c
Chứng minh rằng (P) nằm phía dưới đường thẳng (D) và (C) nằm phía trên (D).Lời giải chi tiết:
Đặt \(h(x) = {x \over 2} + {1 \over 2}\) ta có
\(g(x) - h(x) = \sqrt {{x^2} - x + 1} - {{x + 1} \over 2}\)
- Với \(x + 1 \le 0\) hay \(x \le - 1\) , ta có \(g(x) - h(x) > 0\)
- Với \(x + 1 > 0\) hay \(x > - 1\) ta có:
\(g(x) - h(x) > 0\)
\(\eqalign{& \Leftrightarrow g(x) > h(x) \cr& \Leftrightarrow {g^2}(x) > {h^2}(x) \cr& \Leftrightarrow 4({x^2} - x + 1) > {\left({x + 1} \right)^2} \cr& \Leftrightarrow 3{\left({x - 1} \right)^2} > 0 \cr} \)
Do đó, \(g(x) - h(x) \ge 0\) với mọi \(x \in R\) và chỉ có đẳng thức khi x = 1 hay (C) luôn nằm phía trên (D).
Lại có:
\(\begin{array}{l}
f\left(x \right) - h\left(x \right)\\
= - \frac{1}{4}{x^2} + x + \frac{1}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\\
= - \frac{1}{4}{x^2} + \frac{x}{2} - \frac{1}{4}\\
= - \frac{1}{4}\left({{x^2} - 2x + 1} \right)\\
= - \frac{1}{4}{\left({x - 1} \right)^2} \le 0,\forall x
\end{array}\)
Nên (P) luôn nằm phía dưới (D).
Vậy ta có đpcm.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!