Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(3x - y - 3 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \({d_1}\) là ảnh của \(d\) qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm \(I\left( { - 1; 2} \right)\) và phép quay tâm \(O\) góc quay \(- 90^\circ \).
Phương pháp giải
- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm \(I\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 2{x_I} - x\\y' = 2{y_I} - y\end{array} \right.\).
- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép quay tâm \(O\) góc quay \(- {90^0}\) biến điểm \(M\left( {x; y} \right)\) thành \(M'\left( {x'; y'} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x' = y\\y' = - x\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết
Gọi M(x; y) bất kì thuộc d.
Giả sử \({M_1}(x_1; y_1) = {D_I}\left(M \right)\) và \(M'(x'; y') = {Q_{\left({O; - {{90}^0}} \right)}}\left({{M_1}} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} =2x_I-x= - 2 - x\\{y_1} = 2y_I-y=4 - y\end{array} \right.\)
và \(\left\{ \begin{array}{l}x' = {y_1}\\y' = - {x_1}\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 4 - y\\y' = 2 + x\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=4 - x'\\x = - 2 + y'\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M\left( { - 2 + y'; 4 - x'} \right)\)
Thế \(\left( {x; y} \right)\) theo \(\left( {x'; y'} \right)\) vào phương trình \(d\) ta có: \(3\left( {y' - 2} \right) - \left({4 - x'} \right) - 3 = 0\)\(\Leftrightarrow x' + 3y' - 13 = 0\).
Vậy phương trình \(d'\) là \(x + 3y - 13 = 0\).
- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm \(I\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 2{x_I} - x\\y' = 2{y_I} - y\end{array} \right.\).
- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép quay tâm \(O\) góc quay \(- {90^0}\) biến điểm \(M\left( {x; y} \right)\) thành \(M'\left( {x'; y'} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x' = y\\y' = - x\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết
Gọi M(x; y) bất kì thuộc d.
Giả sử \({M_1}(x_1; y_1) = {D_I}\left(M \right)\) và \(M'(x'; y') = {Q_{\left({O; - {{90}^0}} \right)}}\left({{M_1}} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} =2x_I-x= - 2 - x\\{y_1} = 2y_I-y=4 - y\end{array} \right.\)
và \(\left\{ \begin{array}{l}x' = {y_1}\\y' = - {x_1}\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 4 - y\\y' = 2 + x\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=4 - x'\\x = - 2 + y'\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M\left( { - 2 + y'; 4 - x'} \right)\)
Thế \(\left( {x; y} \right)\) theo \(\left( {x'; y'} \right)\) vào phương trình \(d\) ta có: \(3\left( {y' - 2} \right) - \left({4 - x'} \right) - 3 = 0\)\(\Leftrightarrow x' + 3y' - 13 = 0\).
Vậy phương trình \(d'\) là \(x + 3y - 13 = 0\).