Bài 1.38 trang 18 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

Câu a​

\(y = {{2{x^2} + 1} \over {{x^2} - 2x}}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2{x^2} + 1}}{{{x^2} - 2x}}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left({\frac{{2{x^2} + 1}}{{x - 2}}.\frac{1}{x}} \right) = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2{x^2} + 1}}{{{x^2} - 2x}}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left({\frac{{2{x^2} + 1}}{x}.\frac{1}{{x - 2}}} \right) = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} + 1}}{{{x^2} - 2x}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{2}{x}}} = 2\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2
\end{array}\)
Vậy:
Đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị.
Đường thẳng x = 2  là tiệm cận đứng của đồ thị.
Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị.

Câu b​

\(y = {x \over {1 - {x^2}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{x}{{1 - {x^2}}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left({\frac{x}{{1 + x}}.\frac{1}{{1 - x}}} \right) = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty
\end{array}\)
Tiệm cận đứng: x = 1.
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{x}{{1 - {x^2}}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left({\frac{x}{{1 - x}}.\frac{1}{{1 + x}}} \right) = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = + \infty
\end{array}\)
Tiệm cận đứng: x = -1.
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{1 - {x^2}}} = 0\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0
\end{array}\)
Tiệm cận ngang: y = 0.

Câu c​

\(y = {{{x^3}} \over {{x^2} - 1}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^3}}}{{{x^2} - 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left({\frac{{{x^3}}}{{x + 1}}.\frac{1}{{x - 1}}} \right) = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty
\end{array}\)
Tiệm cận đứng: x = 1 (khi \(x \to {1^ + }\) và \(x \to {1^ - }\))
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^3}}}{{{x^2} - 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left({\frac{{{x^3}}}{{x - 1}}.\frac{1}{{x + 1}}} \right) = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = - \infty
\end{array}\)
Tiệm cận đứng: x = -1.
\(\begin{array}{l}
y = \frac{{{x^3}}}{{{x^2} - 1}} = x + \frac{x}{{{x^2} - 1}}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left({y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{{x^2} - 1}} = 0\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left({y - x} \right) = 0
\end{array}\)
Tiệm cận xiên: y = x.

Câu d​

\(y = {{\sqrt x } \over {4 - {x^2}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt x }}{{4 - {x^2}}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left({\frac{{\sqrt x }}{{2 + x}}.\frac{1}{{2 - x}}} \right) = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = + \infty
\end{array}\)
Tiệm cận đứng: x = 2.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt x }}{{4 - {x^2}}} = 0\)
Tiệm cận ngang: y = 0.