Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng hàm số: \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x,\forall x \ge 0}\\{\sin \dfrac{x}{2},\forall x < 0}\end{array}} \right.\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) nhưng đạt cực đại tại điểm đó.
Phương pháp giải
- Xét sự tồn tại của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left(0 \right)}}{{x - 0}}\) và suy ra sự tồn tại của đạo hàm tại điểm \(x = 0\).
- Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) nếu đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua điểm đó.
Lời giải chi tiết
Hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x; x \ge 0}\\{\sin \dfrac{x}{2}; x < 0}\end{array}} \right.\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) vì:
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{ - 2x}}{x} = - 2\),
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{2.\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{1}{2}\)
Vì \( - 2 \ne \frac{1}{2} \) \(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left(0 \right)}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left(x \right) - f\left(0 \right)}}{x}\)
Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left(0 \right)}}{x}\) nên không có đạo hàm của hàm số tại \(x=0\).
Mặt khác, với \(x < 0 \) thì \(y' = \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{x}{2}\), với \(x > 0\) thì \(y' = - 2 < 0\)
Xét trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) ta có bảng biến thiên:
Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CD}} = y\left( 0 \right) = 0\).
- Xét sự tồn tại của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left(0 \right)}}{{x - 0}}\) và suy ra sự tồn tại của đạo hàm tại điểm \(x = 0\).
- Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) nếu đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua điểm đó.
Lời giải chi tiết
Hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x; x \ge 0}\\{\sin \dfrac{x}{2}; x < 0}\end{array}} \right.\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) vì:
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{ - 2x}}{x} = - 2\),
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{2.\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{1}{2}\)
Vì \( - 2 \ne \frac{1}{2} \) \(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left(0 \right)}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left(x \right) - f\left(0 \right)}}{x}\)
Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left(0 \right)}}{x}\) nên không có đạo hàm của hàm số tại \(x=0\).
Mặt khác, với \(x < 0 \) thì \(y' = \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{x}{2}\), với \(x > 0\) thì \(y' = - 2 < 0\)
Xét trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) ta có bảng biến thiên:
Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CD}} = y\left( 0 \right) = 0\).