Google
Câu hỏi: Cho hàm số \(y = {x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2}\). Khoảng cách \(d\) giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
A. \(d = 2\sqrt 5 \)
B. \(d = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4}\)
C. \(d = \sqrt 5 \)
D. \(d = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\)
A. \(d = 2\sqrt 5 \)
B. \(d = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4}\)
C. \(d = \sqrt 5 \)
D. \(d = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\)
Phương pháp giải
- Tìm hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
- Tính khoảng cách theo công thức \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left({{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(y' = 3{x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\)
\(y'' = 6x + 3\);\(y''\left( 0 \right) = 3 > 0, y''\left({ - 1} \right) = - 3 < 0\)
Do đó \(x = 0\) là điểm cực tiểu \(\Rightarrow {y_{CT}} = 0 \Rightarrow O\left( {0; 0} \right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
\(x = - 1\) là điểm cực đại của hàm số \(\Rightarrow {y_{CD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow A\left( { - 1;\dfrac{1}{2}} \right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Vậy khoảng cách \(d = OA = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left({\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\).
- Tìm hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
- Tính khoảng cách theo công thức \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left({{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(y' = 3{x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\)
\(y'' = 6x + 3\);\(y''\left( 0 \right) = 3 > 0, y''\left({ - 1} \right) = - 3 < 0\)
Do đó \(x = 0\) là điểm cực tiểu \(\Rightarrow {y_{CT}} = 0 \Rightarrow O\left( {0; 0} \right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
\(x = - 1\) là điểm cực đại của hàm số \(\Rightarrow {y_{CD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow A\left( { - 1;\dfrac{1}{2}} \right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Vậy khoảng cách \(d = OA = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left({\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Đáp án D.