Bài 1.2 trang 24 SBT toán 8 tập 1

Câu hỏi: Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm hai đa thức \(P\) và \(Q\) thỏa mãn đẳng thức:

Câu a​

\(\displaystyle {{\left( {x + 2} \right)P} \over {x - 2}} = {{\left( {x - 1} \right)Q} \over {{x^2} - 4}}\)
Phương pháp giải:
Hai phân thức \( \dfrac{A}{B}\) và \( \dfrac{C}{D}\) gọi là bằng nhau nếu \(AD = BC\).
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle {{\left( {x + 2} \right)P} \over {x - 2}} = {{\left( {x - 1} \right)Q} \over {{x^2} - 4}}\)
\( \Rightarrow \left( {x + 2} \right)P.\left( {{x^2} - 4} \right)\)\( = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)Q\)
\( \Rightarrow \left( {x + 2} \right)P.\left( {{x^2} - 4} \right) \)\( = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)Q\)
\( \Rightarrow P.{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 2} \right) \)\( = Q\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\)
\(\displaystyle \Rightarrow P = \frac{{Q\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}} \)\( \displaystyle = \frac{{Q\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
Chọn \(Q = {\left( {x + 2} \right)^2} = {x^2} + 4x + 4\) \( \Rightarrow P = x - 1\)

Câu b​

\(\displaystyle {{\left( {x + 2} \right)P} \over {{x^2} - 1}} = {{\left( {x - 2} \right)Q} \over {{x^2} - 2x + 1}}\)
Phương pháp giải:
Hai phân thức \( \dfrac{A}{B}\) và \( \dfrac{C}{D}\) gọi là bằng nhau nếu \(AD = BC\).
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle {{\left( {x + 2} \right)P} \over {{x^2} - 1}} = {{\left( {x - 2} \right)Q} \over {{x^2} - 2x + 1}}\)
\( \Rightarrow \left( {x + 2} \right).P.\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\)\( = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 2} \right).Q\)
\( \Rightarrow P.\left( {x + 2} \right){\left( {x - 1} \right)^2} \)\( = Q.\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)
\( \displaystyle \Rightarrow P = \frac{{Q.\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)\( \displaystyle= \frac{{Q\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)
Chọn \(Q = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = {x^2} + x - 2\)
\( \Rightarrow P = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} - x - 2\)
Chú ý: Bài toán có nhiều đáp án phụ thuộc vào cách chọn đa thức \(Q\).