Cách viết phương trình khoảng cách hai dao động?

apple13197 đã viết:

Bài toán
Cho 2 vật A, B dao động với cùng tần số góc và cùng vị trí cân bằng $x_{1}=A_{1}\cos \left(\omega t+\varphi_{1}\right)$; $x_{2}=A_{2}\cos \left(\omega t+\varphi _{2}\right)$. Viết phương trình khoảng cách giữa hai vật.(Nêu rõ cách tính pha ban đầu và cách tính biên độ của khoảng cách)
P/s: Vì mình học vecto bên toán không hiểu cho lắm nên ít vận dụng được bên lý về phần này!

Click để xem thêm...

minhtangv đã viết:

Lời giải

Khoảng cách giữa hai vật là
$d=|x_2−x_1|$
$=|A_2\cos \left(\omega t+\varphi_2\right)−A_1\cos \left(\omega t+\varphi_1\right)|$
$=|A_2\left(\cos \omega t⋅\cos \varphi_2−\sin \omega t⋅\sin \varphi_2\right)$
$−A_1\left(\cos \omega t⋅\cos \varphi_1−\sin \omega t⋅\sin \varphi_1\right)|$
$=|\left(A_2\cos \varphi_2−A_1\cos \varphi_1\right)⋅\cos \omega t$
$+\left(A_1\sin \varphi_1−A_2\sin \varphi_2\right)⋅\sin \omega t|$
Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cop-xki, ta có
$d≤\sqrt{\left(A_2\cos \varphi_2−A_1\cos \varphi_1\right)^2+\left(A_1\sin \varphi_1−A_2\sin \varphi_2\right)^2}$
x$\sqrt{\left(\cos ωt\right)^2+\left(\sin ωt\right)^2}$
$=\sqrt{{A_1}^2+{A_2}^2−2A_1A_2\left(\cos \varphi_1⋅\cos \varphi_2+\sin φ_1⋅\sin φ_2\right)}$
$=\sqrt{{A_1}^2+{A_2}^2−2A_1A_2\cos \left(φ_1−φ_2\right)}$
Đẳng thức xảy ra khi $\tan ωt=\dfrac{A_1\sin φ_1−A_2\sin φ_2}{A_2\cos φ_2−A_1\cos φ_1}$
nên giá trị lớn nhất của d là
$d_{max}=\sqrt{{A_1}^2+{A_2}^2−2A_1A_2\cos \left(φ_1−φ_2\right)}$

Click để xem thêm...

minhtangv đã viết:

Lời giải

Khoảng cách giữa hai vật là
$d=|x_2−x_1|$
$=|A_2\cos \left(\omega t+\varphi_2\right)−A_1\cos \left(\omega t+\varphi_1\right)|$
$=|A_2\left(\cos \omega t⋅\cos \varphi_2−\sin \omega t⋅\sin \varphi_2\right)$
$−A_1\left(\cos \omega t⋅\cos \varphi_1−\sin \omega t⋅\sin \varphi_1\right)|$
$=|\left(A_2\cos \varphi_2−A_1\cos \varphi_1\right)⋅\cos \omega t$
$+\left(A_1\sin \varphi_1−A_2\sin \varphi_2\right)⋅\sin \omega t|$
Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cop-xki, ta có
$d≤\sqrt{\left(A_2\cos \varphi_2−A_1\cos \varphi_1\right)^2+\left(A_1\sin \varphi_1−A_2\sin \varphi_2\right)^2}$
x$\sqrt{\left(\cos ωt\right)^2+\left(\sin ωt\right)^2}$
$=\sqrt{{A_1}^2+{A_2}^2−2A_1A_2\left(\cos \varphi_1⋅\cos \varphi_2+\sin φ_1⋅\sin φ_2\right)}$
$=\sqrt{{A_1}^2+{A_2}^2−2A_1A_2\cos \left(φ_1−φ_2\right)}$
Đẳng thức xảy ra khi $\tan ωt=\dfrac{A_1\sin φ_1−A_2\sin φ_2}{A_2\cos φ_2−A_1\cos φ_1}$
nên giá trị lớn nhất của d là
$d_{max}=\sqrt{{A_1}^2+{A_2}^2−2A_1A_2\cos \left(φ_1−φ_2\right)}$

Click để xem thêm...

Lil.Tee đã viết:

Giống của em :D
http://tanghaituan.com/92/

Click để xem thêm...

minhtangv đã viết:

Có tham khảo của admin mà. Nhưng bất đẳng thức là Bu-nhi-a-cop-xki chứ không phải Cauchy-Schwarz!

Click để xem thêm...

NTH 52 đã viết:

Một bài toán tổng quát lâu ngày mới gặp lại anh nhỉ, với em là như thế.
Theo quy ước quốc tế về Toán thì đó là Cauchy-Schwarz, còn Bu-nhi-a-cốp-xki là tên một bất đẳng thức dạng tích phân...

Click để xem thêm...

minhtangv đã viết:

Bất đẳng thức Bu-nhia-cop-xki:
$|ac+bd|\leq\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}$ dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$

Click để xem thêm...

apple13197 đã viết:

Bài toán
Cho 2 vật A, B dao động với cùng tần số góc và cùng vị trí cân bằng $x_{1}=A_{1}\cos \left(\omega t+\varphi_{1}\right)$; $x_{2}=A_{2}\cos \left(\omega t+\varphi _{2}\right)$. Viết phương trình khoảng cách giữa hai vật.(Nêu rõ cách tính pha ban đầu và cách tính biên độ của khoảng cách)
P/s: Vì mình học vecto bên toán không hiểu cho lắm nên ít vận dụng được bên lý về phần này!

Click để xem thêm...