Google
Câu hỏi: Xét z số phức thỏa mãn $\dfrac{2019\text{z}}{z-2}$ là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn $\left( C \right)$ trừ đi một điểm $N\left( 2;0 \right)$. Bán kính của $\left( C \right)$ bằng
A. $\sqrt{3}$
B. 1
C. 2
D. $\sqrt{2}$
A. $\sqrt{3}$
B. 1
C. 2
D. $\sqrt{2}$
Đặt $z=a+bi$ ta có: $\dfrac{2019\text{z}}{z-2}=\dfrac{2019\left( a+bi \right)}{a+bi-2}=\dfrac{2019\left( a+bi \right)\left( a-2-bi \right)}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}$
$=\dfrac{2019\left[ a\left( a-2 \right)+{{b}^{2}}+\left[ -ab+\left( a-2 \right)b \right]i \right]}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}$
$=\dfrac{2019\left[ a\left( a-2 \right)+{{b}^{2}} \right]}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\dfrac{2019\left[ -ab+\left( a-2 \right)b \right]}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}i\left( z\ne 2 \right)$
Để $\dfrac{2019\text{z}}{z-2}$ là số thuần ảo $\Rightarrow 2019\left[ a\left( a-2 \right)+{{b}^{2}} \right]=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2\text{a}+{{b}^{2}}=0$.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\text{x}=0$ trừ đi một điểm $N\left( 2;0 \right)$ có tâm $I\left( 1;0 \right)$, bán kính $R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}-0}=1$.
$=\dfrac{2019\left[ a\left( a-2 \right)+{{b}^{2}}+\left[ -ab+\left( a-2 \right)b \right]i \right]}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}$
$=\dfrac{2019\left[ a\left( a-2 \right)+{{b}^{2}} \right]}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\dfrac{2019\left[ -ab+\left( a-2 \right)b \right]}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}i\left( z\ne 2 \right)$
Để $\dfrac{2019\text{z}}{z-2}$ là số thuần ảo $\Rightarrow 2019\left[ a\left( a-2 \right)+{{b}^{2}} \right]=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2\text{a}+{{b}^{2}}=0$.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\text{x}=0$ trừ đi một điểm $N\left( 2;0 \right)$ có tâm $I\left( 1;0 \right)$, bán kính $R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}-0}=1$.
Đáp án B.