Xét $x, y$ là hai số thực dương thỏa $1-\dfrac{1}{2}{{\log...

The Knowledge · 21/12/21

Câu hỏi: Xét

x, y

là hai số thực dương thỏa

1 - \frac{1}{2} \log_{2} (x - y + 2) = \log_{2} (\frac{x + 1}{y} + 1) .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = \frac{x (y + 1) + 10}{y} .

A. 8.
B. 6.
C. 4.
D. 5.

Ta có

1 = \log_{2} \sqrt{x - y + 2} + \log_{2} \frac{x + y + 1}{y} = \log_{2} (\frac{x + y + 1}{y} . \sqrt{x - y + 2})

.

\begin{aligned} \Rightarrow \frac{x + y + 1}{y} . \sqrt{x - y + 2} = 2 \Rightarrow (x + y + 1) (\sqrt{x - y + 2} - 1) = 2 y - (x + y + 1) \\ \Rightarrow (x + y + 1) . \frac{x - y + 1}{\sqrt{x - y + 2} + 1} + x - y + 1 = 0 \Rightarrow x - y + 1 = 0 \Rightarrow x = y - 1 \\ \Rightarrow P = \frac{(y - 1) (y + 1) + 10}{y} = \frac{y^{2} + 9}{y} = y + \frac{9}{y} \geq 2 \sqrt{y . \frac{9}{y}} = 6. \end{aligned}

Dấu "=" xảy ra

\Leftrightarrow y = 3; x = 2

.

Đáp án B.

Xét x,y là hai số thực dương thỏa $1-\dfrac{1}{2}{{\log...