Xét tất cả các cặp số nguyên dương $(a;b)$, ở đó $a\ge b$ sao cho...

Khi $b=1$ $\Rightarrow $ bất phương trình vô nghiệm $\Rightarrow $ $b\ge 2$
Ta có $\left| \ln a-\ln x \right|<\ln b\Leftrightarrow -\ln b<\ln a-\ln x<\ln b$ $\Leftrightarrow \ln a-\ln b<\ln x<\ln a+\ln b$
$\Leftrightarrow \ln \dfrac{a}{b}<\ln x<\ln ab\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}<x<ab$.
Nhận xét: Nghiệm nguyên dương lớn nhất của bất phương trình là $x=ab-1$ khi đó yêu cầu bài toán trở thành nghiệm nguyên dương bé nhất của bất phương trình là $x=ab-50$ hay
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{a}{b}<ab-50 \\
& \dfrac{a}{b}\ge ab-51 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a<a{{b}^{2}}-50b \\
& a\ge a{{b}^{2}}-51b \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 50b<a\left( {{b}^{2}}-1 \right) \\
& 51b\ge a\left( {{b}^{2}}-1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do $a\ge 1\Rightarrow 51b\ge {{b}^{2}}-1\Rightarrow 2\le b\le 50(1)$
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& a>\dfrac{50}{{{b}^{2}}-1} \\
& a\le \dfrac{51}{{{b}^{2}}-1} \\
\end{aligned} \right.$
Lại có $a\ge b\Rightarrow \dfrac{51b}{{{b}^{2}}-1}\ge b\Rightarrow b\le 7$
Kết hợp với $\left( 1 \right)\Rightarrow 2\le b\le 7$ thử trực tiếp ta tìm được với $b=3;a=19$ thì $a+b=22$ và là nhỏ nhất.