Google
Câu hỏi: Xét tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn $\left( O;R \right)$. Gọi ${{V}_{1}},{{V}_{2}},{{V}_{3}}$ lần lượt là thể tích của các khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA, quay tam giác OAB quanh trung trực của đoạn thẳng AB, quay tam giac OBC quanh trung trực của đoạn thẳng BC. Khi biểu thức ${{V}_{1}}+{{V}_{2}}$ đạt giá trị lớn nhất, tính ${{V}_{3}}$ theo R.
A. ${{V}_{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}\pi }{9}{{R}^{3}}$
B. ${{V}_{3}}=\dfrac{32\pi }{81}{{R}^{3}}$
C. ${{V}_{3}}=\dfrac{57\pi }{81}{{R}^{3}}$
D. ${{V}_{3}}=\dfrac{8\pi }{81}{{R}^{3}}$
${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}OP.{{S}_{1}}=\dfrac{1}{3}OP\left( \pi {{\left( \dfrac{AC}{2} \right)}^{2}} \right)=\dfrac{\pi }{3}OP.P{{A}^{2}}$
$=\dfrac{\pi }{3}OP\left( O{{A}^{2}}-O{{P}^{2}} \right)=\dfrac{\pi }{3}OP\left( {{R}^{2}}-O{{P}^{2}} \right)$
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}OQ.{{S}_{2}}=\dfrac{1}{3}OQ\left( \pi {{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}} \right)=\dfrac{\pi }{3}OQ.Q{{A}^{2}}$
$=\dfrac{\pi }{3}OQ\left( O{{A}^{2}}-O{{Q}^{2}} \right)=\dfrac{\pi }{3}OQ\left( {{R}^{2}}-O{{Q}^{2}} \right)$.
Xét hàm $f\left( x \right)=x\left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)$. Với $0\le x<R$.
Khi đó ${f}'\left( x \right)={{R}^{2}}-3{{\text{x}}^{2}}.{f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{R}{\sqrt{3}} \\
& x=-\dfrac{R}{\sqrt{3}} \\
\end{aligned} \right.$.
Lập bảng biến thiên, thấy rằng $\underset{x\in \left[ 0;R \right)}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=f\left( \dfrac{R}{\sqrt{3}} \right)$.
Khi đó, áp dụng cho ${{V}_{1}},{{V}_{2}}$ : ${{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{\pi }{3}\left[ OP\left( {{R}^{2}}-O{{P}^{2}} \right)+OQ\left( {{R}^{2}}-O{{Q}^{2}} \right) \right]$ đạt giá trị lớn nhất khi $OP=OQ=\dfrac{R}{\sqrt{3}}$.
Hay khi đó tam giác ABC cân tại A (do $OP=OQ$ ).
Mà lúc đó $AB=2\sqrt{{{R}^{2}}-O{{Q}^{2}}}=2\sqrt{{{R}^{2}}-\dfrac{{{R}^{2}}}{3}}=\dfrac{2R\sqrt{6}}{3}$.
Do tam giác ABC cân A nên khi đó $AM\bot BC$.
Ta có ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AM.BC=\dfrac{AB.AC.BC}{4\text{R}}\Rightarrow AM=\dfrac{AB.AC}{2\text{R}}=\dfrac{\dfrac{4{{\text{R}}^{2}}.6}{9}}{2\text{R}}=\dfrac{4\text{R}}{3}$.
Mà $AM=AO+OM\Rightarrow OM=\dfrac{4\text{R}}{3}-R=\dfrac{R}{3}$.
Vậy ${{V}_{3}}=\dfrac{1}{3}OM.{{S}_{3}}=\dfrac{1}{3}OM.\pi .M{{C}^{2}}=\dfrac{\pi }{3}OM\left( {{R}^{2}}-O{{M}^{2}} \right)=\dfrac{\pi }{3}.\dfrac{R}{3}\left( {{R}^{2}}-\dfrac{{{R}^{2}}}{9} \right)=\dfrac{8\pi {{R}^{3}}}{81}$.
A. ${{V}_{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}\pi }{9}{{R}^{3}}$
B. ${{V}_{3}}=\dfrac{32\pi }{81}{{R}^{3}}$
C. ${{V}_{3}}=\dfrac{57\pi }{81}{{R}^{3}}$
D. ${{V}_{3}}=\dfrac{8\pi }{81}{{R}^{3}}$
${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}OP.{{S}_{1}}=\dfrac{1}{3}OP\left( \pi {{\left( \dfrac{AC}{2} \right)}^{2}} \right)=\dfrac{\pi }{3}OP.P{{A}^{2}}$
$=\dfrac{\pi }{3}OP\left( O{{A}^{2}}-O{{P}^{2}} \right)=\dfrac{\pi }{3}OP\left( {{R}^{2}}-O{{P}^{2}} \right)$
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}OQ.{{S}_{2}}=\dfrac{1}{3}OQ\left( \pi {{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}} \right)=\dfrac{\pi }{3}OQ.Q{{A}^{2}}$
$=\dfrac{\pi }{3}OQ\left( O{{A}^{2}}-O{{Q}^{2}} \right)=\dfrac{\pi }{3}OQ\left( {{R}^{2}}-O{{Q}^{2}} \right)$.
Xét hàm $f\left( x \right)=x\left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)$. Với $0\le x<R$.
Khi đó ${f}'\left( x \right)={{R}^{2}}-3{{\text{x}}^{2}}.{f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{R}{\sqrt{3}} \\
& x=-\dfrac{R}{\sqrt{3}} \\
\end{aligned} \right.$.
Lập bảng biến thiên, thấy rằng $\underset{x\in \left[ 0;R \right)}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=f\left( \dfrac{R}{\sqrt{3}} \right)$.
Khi đó, áp dụng cho ${{V}_{1}},{{V}_{2}}$ : ${{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{\pi }{3}\left[ OP\left( {{R}^{2}}-O{{P}^{2}} \right)+OQ\left( {{R}^{2}}-O{{Q}^{2}} \right) \right]$ đạt giá trị lớn nhất khi $OP=OQ=\dfrac{R}{\sqrt{3}}$.
Hay khi đó tam giác ABC cân tại A (do $OP=OQ$ ).
Mà lúc đó $AB=2\sqrt{{{R}^{2}}-O{{Q}^{2}}}=2\sqrt{{{R}^{2}}-\dfrac{{{R}^{2}}}{3}}=\dfrac{2R\sqrt{6}}{3}$.
Do tam giác ABC cân A nên khi đó $AM\bot BC$.
Ta có ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AM.BC=\dfrac{AB.AC.BC}{4\text{R}}\Rightarrow AM=\dfrac{AB.AC}{2\text{R}}=\dfrac{\dfrac{4{{\text{R}}^{2}}.6}{9}}{2\text{R}}=\dfrac{4\text{R}}{3}$.
Mà $AM=AO+OM\Rightarrow OM=\dfrac{4\text{R}}{3}-R=\dfrac{R}{3}$.
Vậy ${{V}_{3}}=\dfrac{1}{3}OM.{{S}_{3}}=\dfrac{1}{3}OM.\pi .M{{C}^{2}}=\dfrac{\pi }{3}OM\left( {{R}^{2}}-O{{M}^{2}} \right)=\dfrac{\pi }{3}.\dfrac{R}{3}\left( {{R}^{2}}-\dfrac{{{R}^{2}}}{9} \right)=\dfrac{8\pi {{R}^{3}}}{81}$.
Đáp án D.