Xét tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn $(O; R)$ ...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Xét tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn

(O; R)

. Gọi

V_{1}, V_{2}, V_{3}

lần lượt là thể tích của các khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA, quay tam giác OAB quanh trung trực của đoạn thẳng AB, quay tam giac OBC quanh trung trực của đoạn thẳng BC. Khi biểu thức

V_{1} + V_{2}

đạt giá trị lớn nhất, tính

V_{3}

theo R.
A.

V_{3} = \frac{2 \sqrt{3} π}{9} R^{3}

B.

V_{3} = \frac{32 π}{81} R^{3}

C.

V_{3} = \frac{57 π}{81} R^{3}

D.

V_{3} = \frac{8 π}{81} R^{3}

V_{1} = \frac{1}{3} O P . S_{1} = \frac{1}{3} O P (π {(\frac{A C}{2})}^{2}) = \frac{π}{3} O P . P A^{2}

= \frac{π}{3} O P (O A^{2} - O P^{2}) = \frac{π}{3} O P (R^{2} - O P^{2})

V_{2} = \frac{1}{3} O Q . S_{2} = \frac{1}{3} O Q (π {(\frac{A B}{2})}^{2}) = \frac{π}{3} O Q . Q A^{2}

= \frac{π}{3} O Q (O A^{2} - O Q^{2}) = \frac{π}{3} O Q (R^{2} - O Q^{2})

.
Xét hàm

f (x) = x (R^{2} - x^{2})

. Với

0 \leq x < R

.
Khi đó

f^{'} (x) = R^{2} - 3 x^{2} . f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = \frac{R}{\sqrt{3}} \\ x = - \frac{R}{\sqrt{3}} \end{aligned}

.
Lập bảng biến thiên, thấy rằng

max_{x \in [0; R)} g (x) = f (\frac{R}{\sqrt{3}})

.
Khi đó, áp dụng cho

V_{1}, V_{2}

:

V_{1} + V_{2} = \frac{π}{3} [O P (R^{2} - O P^{2}) + O Q (R^{2} - O Q^{2})]

đạt giá trị lớn nhất khi

O P = O Q = \frac{R}{\sqrt{3}}

.
Hay khi đó tam giác ABC cân tại A (do

O P = O Q

).
Mà lúc đó

A B = 2 \sqrt{R^{2} - O Q^{2}} = 2 \sqrt{R^{2} - \frac{R^{2}}{3}} = \frac{2 R \sqrt{6}}{3}

.
Do tam giác ABC cân A nên khi đó

A M ⊥ B C

.

Ta có

S_{A B C} = \frac{1}{2} A M . B C = \frac{A B . A C . B C}{4 R} \Rightarrow A M = \frac{A B . A C}{2 R} = \frac{\frac{4 R^{2} .6}{9}}{2 R} = \frac{4 R}{3}

.
Mà

A M = A O + O M \Rightarrow O M = \frac{4 R}{3} - R = \frac{R}{3}

.
Vậy

V_{3} = \frac{1}{3} O M . S_{3} = \frac{1}{3} O M . π . M C^{2} = \frac{π}{3} O M (R^{2} - O M^{2}) = \frac{π}{3} . \frac{R}{3} (R^{2} - \frac{R^{2}}{9}) = \frac{8 π R^{3}}{81}

.

Đáp án D.

Xét tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn $(O; R)$ ...

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Thống kê diễn đàn

Share this page

Xét tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R)...

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Xét tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn $(O; R)$ ...