Xét số phức $z$ và $w$ thay đổi thỏa mãn $\left| z \right|=\left|...

Gọi $M, N$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z$ và $w$.
Từ giả thiết ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OM=ON=3 \\
& MN=3\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \Delta OMN $ vuông tại $ O $ $ \Rightarrow \overrightarrow{OM}\bot \overrightarrow{ON}\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& w=iz \\
& w=-iz \\
\end{aligned} \right.$.
Trường hợp $w=iz$.
Ta có $P=\left| z-1-i \right|+\left| iz+2-5i \right|=\left| z-\left( 1+i \right) \right|+\left| z-\left( 5+2i \right) \right|=MA+MB$ với $A\left( 1;1 \right), B\left( 5;2 \right)$.
Gọi $E$ là giao điểm của đoạn $AB$ với đường tròn $\left( O;3 \right)$ như hình vẽ.
Có $P=MA+MB\ge AB$, $AB=\sqrt{17}$.
Suy ra $\min P=\sqrt{17}$ khi $M\equiv E$, $N$ là ảnh của $M$ qua phép quay ${{Q}_{\left( O,{{90}^{0}} \right)}}$.
Trường hợp $w=-iz$.
Ta có $P=\left| z-1-i \right|+\left| -iz+2-5i \right|=\left| z-\left( 1+i \right) \right|+\left| z-\left( -5-2i \right) \right|=MA+MC$ với $A\left( 1;1 \right), C\left( -5;-2 \right)$.
Gọi $F$ là giao điểm của đoạn $AC$ với đường tròn $\left( O;3 \right)$ như hình vẽ.
Có $P=MA+MC\ge AC$, $AC=3\sqrt{5}$.
Suy ra $\min P=3\sqrt{5}$ khi $M\equiv F$, $N$ là ảnh của $M$ qua phép quay ${{Q}_{\left( O,-{{90}^{0}} \right)}}$.
Kết hợp hai trường hợp, ta được $\min P=\sqrt{17}$.