Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần...

Giả sử $z=a+bi(a,b\in R)$ được biểu diễn bởi điểm $M(a,b)$.
Khi đó số phức liên hợp của z là $\bar{z}=a-bi$ được biểu diễn bởi điểm $M^{\prime }(a;-b)$.
Ta có: $z(4+3i)=(a+bi)(4+3i)=4a+3ai+4bi-3b=(4a-3b)+(3a+4b)i$
Do đó số phức $z(4+3i)$ được biểu diễn bởi điểm $N(4a-3b;3a+4b)$
Khi đó điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức $z(4+3i)$ là $N^{\prime }(4a-3b;-3a-4b)$
Ta có: $\{\begin{array}{rl}& \overrightarrow{M{M}^{\prime }}=(a-a;-b-b)\\ & \overrightarrow{N{N}^{\prime }}=(4\text{a}-3b-4\text{a}-3b;-3\text{a}-4b-3\text{a}-4b)\\ & \overrightarrow{MN}=(4\text{a}-3b-a;3\text{a}+4b-b)\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& \overrightarrow{M{M}^{\prime }}=(0;-2b)\\ & \overrightarrow{N{N}^{\prime }}=(0;-6\text{a}-8b)\\ & \overrightarrow{MN}=(3\text{a}+3b;3\text{a}+3b)\end{array}$
Vì $M{M}^{\prime }{N}^{\prime }N$ là một hình chữ nhật nên ta có:
$\{\begin{array}{rl}& \overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{N{N}^{\prime }}\ne \overrightarrow{0}\\ & \overrightarrow{M{M}^{\prime }}.\overrightarrow{MN}=0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& -2b=-6\text{a}-8b\\ & a,b\ne 0\\ & -2b(3\text{a}+3b)=0\end{array}\iff a=-b$
$\Rightarrow z=-b+bi\Rightarrow |z+4i-5|=|-b-5+(b+4)i|=\sqrt{{(-b-5)}^2+{(b+4)}^2}=\sqrt{2{(b+{\displaystyle \frac{9}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}}\ge {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$
Vậy ${|z+4i-5|}_{min}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\iff b={\displaystyle \frac{-9}{2}}$ hay $z={\displaystyle \frac{9}{2}}-{\displaystyle \frac{9}{2}}i$.