Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần...

Giả sử $z=a+bi \left( a, b\in R \right)$ được biểu diễn bởi điểm $M\left( a, b \right)$.
Khi đó số phức liên hợp của z là $\overline{z}=a-bi$ được biểu diễn bởi điểm ${M}'\left( a; -b \right)$.
Ta có: $z\left( 4+3i \right)=\left( a+bi \right)\left( 4+3i \right)=4a+3ai+4bi-3b=\left( 4a-3b \right)+\left( 3a+4b \right)i$
Do đó số phức $z\left( 4+3i \right)$ được biểu diễn bởi điểm $N\left( 4a-3b; 3a+4b \right)$
Khi đó điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức $z\left( 4+3i \right)$ là ${N}'\left( 4a-3b; -3a-4b \right)$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{M{M}'}=\left( a-a; -b-b \right) \\
& \overrightarrow{N{N}'}=\left( 4\text{a}-3b-4\text{a}-3b; -3\text{a}-4b-3\text{a}-4b \right) \\
& \overrightarrow{MN}=\left( 4\text{a}-3b-a; 3\text{a}+4b-b \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{M{M}'}=\left( 0; -2b \right) \\
& \overrightarrow{N{N}'}=\left( 0; -6\text{a}-8b \right) \\
& \overrightarrow{MN}=\left( 3\text{a}+3b; 3\text{a}+3b \right) \\
\end{aligned} \right.$
Vì $M{M}'{N}'N$ là một hình chữ nhật nên ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{M{M}'}=\overrightarrow{N{N}'}\ne \overrightarrow{0} \\
& \overrightarrow{M{M}'}.\overrightarrow{MN}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2b=-6\text{a}-8b \\
& a, b\ne 0 \\
& -2b\left( 3\text{a}+3b \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a=-b$
$\Rightarrow z=-b+bi\Rightarrow \left| z+4i-5 \right|=\left| -b-5+\left( b+4 \right)i \right|=\sqrt{{{\left( -b-5 \right)}^{2}}+{{\left( b+4 \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{\left( b+\dfrac{9}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{2}}\ge \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Vậy ${{\left| z+4i-5 \right|}_{\min }}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow b=\dfrac{-9}{2}$ hay $z=\dfrac{9}{2}-\dfrac{9}{2}i$.