Google
Câu hỏi: Xét số phức z thỏa mãn $\dfrac{z+2}{z-2i}$ là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng:
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. $2\sqrt{2}$
D. 2
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. $2\sqrt{2}$
D. 2
Gọi $z=a+bi$ ta có:
$\dfrac{z+2}{z-2i}=\dfrac{(a+2)+bi}{a+(b-2i)i}=\dfrac{\left[ (a+2)+bi \right]\left[ a-(b-2)i \right]}{\left[ a+(b-2)i \right]\left[ a-(b-2)i \right]}$
$=\dfrac{(a+2)a-(a+2)(b-2)i+abi+b(b-2)}{{{a}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}}$
$=\dfrac{{{a}^{2}}+2\text{a}+{{b}^{2}}-2b}{{{a}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}}-\dfrac{(a+2)(b-2)-ab}{{{a}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}}i$
Để số trên là số thuần ảo thì số đó có phần thực bằng 0 $\Rightarrow {{a}^{2}}+2\text{a}+{{b}^{2}}-2b=0$.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm $I(-1;1)$, bán kính $R=\sqrt{{{(-1)}^{2}}+{{1}^{2}}-0}=\sqrt{2}$.
$\dfrac{z+2}{z-2i}=\dfrac{(a+2)+bi}{a+(b-2i)i}=\dfrac{\left[ (a+2)+bi \right]\left[ a-(b-2)i \right]}{\left[ a+(b-2)i \right]\left[ a-(b-2)i \right]}$
$=\dfrac{(a+2)a-(a+2)(b-2)i+abi+b(b-2)}{{{a}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}}$
$=\dfrac{{{a}^{2}}+2\text{a}+{{b}^{2}}-2b}{{{a}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}}-\dfrac{(a+2)(b-2)-ab}{{{a}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}}i$
Để số trên là số thuần ảo thì số đó có phần thực bằng 0 $\Rightarrow {{a}^{2}}+2\text{a}+{{b}^{2}}-2b=0$.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm $I(-1;1)$, bán kính $R=\sqrt{{{(-1)}^{2}}+{{1}^{2}}-0}=\sqrt{2}$.
Đáp án B.