Xét số phức z thỏa mãn $4\left| z+i \right|+3\left| z-i...

The Knowledge · 14/12/21

Câu hỏi: Xét số phức z thỏa mãn

4 | z + i | + 3 | z - i | = 10

. Gọi P; p tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

| z |

. Giá trị của

7 P - 5 p

bằng
A. 5
B. 6
C. 18
D. 2

Gọi

A (0; - 1), B (0; 1)

, có trung điểm là

O (0; 0)

. Điểm M biểu diễn số phức z.
Theo công thức trung tuyến thì

{| z |}^{2} = O M^{2} = \frac{M A^{2} + M B^{2}}{2} - \frac{A B^{2}}{4}

.
Theo giả thiết

4 M A + 3 M B = 10

. Đặt

M A = a \Rightarrow M B = \frac{10 - 4 a}{3}

.
Khi đó

| M A - M B | = \frac{| 10 - 7 a |}{3} \leq A B = 2 \Rightarrow - 6 \leq 10 - 7 a \leq 6 \Leftrightarrow \frac{4}{7} \leq a \leq \frac{16}{7}

.
Ta có

M A^{2} + M B^{2} = a^{2} + {(\frac{10 - 4 a}{3})}^{2} = \frac{25 a^{2} - 80 a + 100}{9} = \frac{{(5 a - 8)}^{2} + 36}{9}

.
Do

- \frac{36}{7} \leq 5 a - 8 \leq \frac{24}{7} \Rightarrow 0 \leq {(5 a - 8)}^{2} \leq \frac{1296}{49}

nên

{\begin{aligned} M A^{2} + M B^{2} \geq 4 \\ M A^{2} + M B^{2} \leq \frac{340}{49} \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} | z | \geq 1 \\ {| z |}^{2} \leq \frac{121}{49} \Rightarrow | z | \leq \frac{11}{7} \end{aligned}

.
Vậy

p = 1; P = \frac{11}{7} \Rightarrow 7 P - 5 p = 6

.

Đáp án B.