Xét số phức z thỏa mãn $4\left| z+i \right|+3\left| z-i...

Gọi $A\left( 0;-1 \right),B\left( 0;1 \right)$, có trung điểm là $O\left( 0;0 \right)$. Điểm M biểu diễn số phức z.
Theo công thức trung tuyến thì ${{\left| z \right|}^{2}}=O{{M}^{2}}=\dfrac{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}$.
Theo giả thiết $4MA+3MB=10$. Đặt $MA=a\Rightarrow MB=\dfrac{10-4\text{a}}{3}$.
Khi đó $\left| MA-MB \right|=\dfrac{\left| 10-7\text{a} \right|}{3}\le AB=2\Rightarrow -6\le 10-7\text{a}\le 6\Leftrightarrow \dfrac{4}{7}\le a\le \dfrac{16}{7}$.
Ta có $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{10-4\text{a}}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{25{{\text{a}}^{2}}-80\text{a}+100}{9}=\dfrac{{{\left( 5\text{a}-8 \right)}^{2}}+36}{9}$.
Do $-\dfrac{36}{7}\le 5\text{a}-8\le \dfrac{24}{7}\Rightarrow 0\le {{\left( 5\text{a}-8 \right)}^{2}}\le \dfrac{1296}{49}$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\ge 4 \\
& M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\le \dfrac{340}{49} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| z \right|\ge 1 \\
& {{\left| z \right|}^{2}}\le \dfrac{121}{49}\Rightarrow \left| z \right|\le \dfrac{11}{7} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $p=1;P=\dfrac{11}{7}\Rightarrow 7P-5p=6$.