Xét số phức z có phần thực dương và ba điểm A, B, C lần lượt là...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Xét số phức z có phần thực dương và ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z,

\frac{1}{z}

và

z + \frac{1}{z}

. Biết tứ giác OABC là một hình bình hành, giá trị nhỏ nhất của

{| z + \frac{1}{z} |}^{2}

bằng
A.

\sqrt{2}

B. 2
C.

2 \sqrt{2}

D. 4

Ta có

O A = | z |, A B = | \frac{1}{z} - z |, B C = | (z + \frac{1}{z}) - \frac{1}{z} | = | z |, O C = | z + \frac{1}{z} |

.
Vì OABC là một hình bình hành nên

{\begin{aligned} O A = B C \\ A B = O C \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} | z | = | z | \\ | \frac{1}{z} - z | = | z + \frac{1}{z} | \end{aligned} \Leftrightarrow | \frac{1}{z} - z | = | z + \frac{1}{z} | \Leftrightarrow | \frac{1 - z^{2}}{z} | = | \frac{1 + z^{2}}{z} | \Leftrightarrow | 1 - z^{2} | = | 1 + z^{2} |

Đặt

z = x + y i \Rightarrow z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2 x y i

vậy điều kiện trở thành:

| 1 - z^{2} | = | 1 + z^{2} | \Leftrightarrow | (x^{2} - y^{2} - 1) + 2 x y i | = | (x^{2} - y^{2} + 1) + 2 x y i |

\Leftrightarrow {(x^{2} - y^{2} - 1)}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = {(x^{2} - y^{2} + 1)}^{2} + 4 x^{2} y^{2} \Leftrightarrow {(x^{2} - y^{2} - 1)}^{2} = {(x^{2} - y^{2} + 1)}^{2}

\Leftrightarrow [\begin{aligned} x^{2} - y^{2} - 1 = x^{2} - y^{2} + 1 \\ x^{2} - y^{2} - 1 = - (x^{2} - y^{2} + 1) \end{aligned} \Leftrightarrow x^{2} - y^{2} = 0 \Leftrightarrow y^{2} = x^{2}

.
Khi đó

{| z + \frac{1}{z} |}^{2} = {| \frac{1 + z^{2}}{z} |}^{2} = {| \frac{(x^{2} - y^{2} + 1) + 2 x y i}{x + y i} |}^{2} = \frac{{(x^{2} - y^{2} + 1)}^{2} + 4 x^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}}

= 2 x^{2} + \frac{1}{2 x^{2}} \geq 2 \sqrt{2 x^{2} . \frac{1}{2 x^{2}}} = 2

Dấu bằng xảy ra tại

{\begin{aligned} 2 x^{2} = \frac{1}{2 x^{2}} \\ y^{2} = x^{2} \\ x > 0 \end{aligned} \Leftrightarrow (x; y) = (\frac{1}{\sqrt{2}}; - \frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}})

.

Đáp án B.