Google
Câu hỏi: Xét số phức z có phần thực dương và ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, $\dfrac{1}{z}$ và $z+\dfrac{1}{z}$. Biết tứ giác OABC là một hình bình hành, giá trị nhỏ nhất của ${{\left| z+\dfrac{1}{z} \right|}^{2}}$ bằng
A. $\sqrt{2}$
B. 2
C. $2\sqrt{2}$
D. 4
A. $\sqrt{2}$
B. 2
C. $2\sqrt{2}$
D. 4
Ta có $OA=\left| z \right|,AB=\left| \dfrac{1}{z}-z \right|,BC=\left| \left( z+\dfrac{1}{z} \right)-\dfrac{1}{z} \right|=\left| z \right|,OC=\left| z+\dfrac{1}{z} \right|$.
Vì OABC là một hình bình hành nên
$\left\{ \begin{aligned}
& OA=BC \\
& AB=OC \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| z \right|=\left| z \right| \\
& \left| \dfrac{1}{z}-z \right|=\left| z+\dfrac{1}{z} \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left| \dfrac{1}{z}-z \right|=\left| z+\dfrac{1}{z} \right|\Leftrightarrow \left| \dfrac{1-{{z}^{2}}}{z} \right|=\left| \dfrac{1+{{z}^{2}}}{z} \right|\Leftrightarrow \left| 1-{{z}^{2}} \right|=\left| 1+{{z}^{2}} \right|$
Đặt $z=x+yi\Rightarrow {{z}^{2}}={{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2\text{x}yi$ vậy điều kiện trở thành:
$\left| 1-{{z}^{2}} \right|=\left| 1+{{z}^{2}} \right|\Leftrightarrow \left| \left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}-1 \right)+2\text{x}yi \right|=\left| \left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 \right)+2\text{x}yi \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}-1 \right)}^{2}}+4{{\text{x}}^{2}}{{y}^{2}}={{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}+4{{\text{x}}^{2}}{{y}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}-1 \right)}^{2}}={{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-{{y}^{2}}-1={{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 \\
& {{x}^{2}}-{{y}^{2}}-1=-\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow {{y}^{2}}={{x}^{2}}$.
Khi đó ${{\left| z+\dfrac{1}{z} \right|}^{2}}={{\left| \dfrac{1+{{z}^{2}}}{z} \right|}^{2}}={{\left| \dfrac{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 \right)+2\text{x}yi}{x+yi} \right|}^{2}}=\dfrac{{{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}+4{{\text{x}}^{2}}{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$
$=2{{\text{x}}^{2}}+\dfrac{1}{2{{\text{x}}^{2}}}\ge 2\sqrt{2{{\text{x}}^{2}}.\dfrac{1}{2{{\text{x}}^{2}}}}=2$
Dấu bằng xảy ra tại $\left\{ \begin{aligned}
& 2{{\text{x}}^{2}}=\dfrac{1}{2{{x}^{2}}} \\
& {{y}^{2}}={{x}^{2}} \\
& x>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left( x;y \right)=\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}};-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right),\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}};\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
Vì OABC là một hình bình hành nên
$\left\{ \begin{aligned}
& OA=BC \\
& AB=OC \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| z \right|=\left| z \right| \\
& \left| \dfrac{1}{z}-z \right|=\left| z+\dfrac{1}{z} \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left| \dfrac{1}{z}-z \right|=\left| z+\dfrac{1}{z} \right|\Leftrightarrow \left| \dfrac{1-{{z}^{2}}}{z} \right|=\left| \dfrac{1+{{z}^{2}}}{z} \right|\Leftrightarrow \left| 1-{{z}^{2}} \right|=\left| 1+{{z}^{2}} \right|$
Đặt $z=x+yi\Rightarrow {{z}^{2}}={{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2\text{x}yi$ vậy điều kiện trở thành:
$\left| 1-{{z}^{2}} \right|=\left| 1+{{z}^{2}} \right|\Leftrightarrow \left| \left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}-1 \right)+2\text{x}yi \right|=\left| \left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 \right)+2\text{x}yi \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}-1 \right)}^{2}}+4{{\text{x}}^{2}}{{y}^{2}}={{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}+4{{\text{x}}^{2}}{{y}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}-1 \right)}^{2}}={{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-{{y}^{2}}-1={{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 \\
& {{x}^{2}}-{{y}^{2}}-1=-\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow {{y}^{2}}={{x}^{2}}$.
Khi đó ${{\left| z+\dfrac{1}{z} \right|}^{2}}={{\left| \dfrac{1+{{z}^{2}}}{z} \right|}^{2}}={{\left| \dfrac{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 \right)+2\text{x}yi}{x+yi} \right|}^{2}}=\dfrac{{{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}+4{{\text{x}}^{2}}{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$
$=2{{\text{x}}^{2}}+\dfrac{1}{2{{\text{x}}^{2}}}\ge 2\sqrt{2{{\text{x}}^{2}}.\dfrac{1}{2{{\text{x}}^{2}}}}=2$
Dấu bằng xảy ra tại $\left\{ \begin{aligned}
& 2{{\text{x}}^{2}}=\dfrac{1}{2{{x}^{2}}} \\
& {{y}^{2}}={{x}^{2}} \\
& x>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left( x;y \right)=\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}};-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right),\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}};\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
Đáp án B.