Google
Câu hỏi: Xét số phức $z=a+b i(a, b \in \mathbb{R})$ thỏa mãn $|z-4-3 i|=\sqrt{5}$. Tính $P=a+b$ khi $|z+1-3 i|+$ $|z-1+i|$ đạt giá trị lớn nhất.
A. $P=6$.
B. $P=8$.
C. $P=10$.
D. $P=4$.
A. $P=6$.
B. $P=8$.
C. $P=10$.
D. $P=4$.
Goi $\mathrm{E}$ là trung điểm của $\mathrm{AB}$ và $M(a ; b)$ là điểm biểu diễn của số phức $\mathrm{z}$.
Theo giả thiết ta có: $|z-4-3 i|=\sqrt{5} \Leftrightarrow(a-4)^2+(b-3)^2=5 \Rightarrow$ Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I(4 ; 3)$ bán kính $R=\sqrt{5}$
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}A(-1 ; 3) \\ B(1 ;-1)\end{array} \Rightarrow Q=|z+1-3 i|+|z-1+i|=M A+M B\right.$
Gọi $\mathrm{E}$ là trung điểm của $\mathrm{AB}$, kéo dài $\mathrm{EI}$ cắt đường tròn tại $\mathrm{D}$
Ta có: $Q^2=M A^2+M B^2+2 M A . M B$
$
\Leftrightarrow Q^2 \leq M A^2+M B^2+M A^2+M B^2=2\left(M A^2+M B^2\right)
$
Vì $M E$ là trung tuyến trong $\triangle M A B \Rightarrow M E^2=\dfrac{M A^2+M B^2}{2}-\dfrac{A B^2}{4} \Rightarrow M A^2+M B^2=2 M E^2+\dfrac{A B^2}{2} \Rightarrow$ $Q^2 \leq 2\left(2 M E^2+\dfrac{A B^2}{2}\right)=4 M E^2+A B^2$. Mặt khác $M E \leq D E=E I+I D=2 \sqrt{5}+\sqrt{5}=3 \sqrt{5}$ $\Rightarrow Q^2 \leq 4 \cdot(3 \sqrt{5})^2+20=200$
$
\begin{aligned}
& \Rightarrow Q \leq 10 \sqrt{2} \Rightarrow Q_{\max }=10 \sqrt{2} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
M A=M B \\
M \equiv D
\end{array}\right. \\
& \Leftrightarrow \overrightarrow{E I}=2 \overrightarrow{I D} \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l }
{ 4 = 2 ( x _ { D } - 4 ) } \\
{ 2 = 2 ( y _ { D } - 3 ) }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x_D=6 \\
y_D=4
\end{array} \Leftrightarrow \Rightarrow M(6 ; 4) \Rightarrow P=a+b=10\right.\right.
\end{aligned}
$
Cách 2:Đặt $z=a+b i$. Theo giả thiết ta có: $(a-4)^2+(b-5)^2=5$.
Đặt $\left\{\begin{array}{l}a-4=\sqrt{5} \sin t \\ b-3=\sqrt{5} \cos t\end{array}\right.$. Khi đó:
$
\begin{aligned}
& Q=|z+1-3 i|+|z-1+i|=\sqrt{(a+1)^2+(b-3)^2}+\sqrt{(a-1)^2+(b+1)^2} \\
& =\sqrt{(\sqrt{5} \sin t+5)^2+5 \cos ^2 t}+\sqrt{(\sqrt{5} \sin t+3)^2+(\sqrt{5} \cos t+4)^2} \\
& =\sqrt{30+10 \sqrt{5} \sin t}+\sqrt{30+2 \sqrt{5}(3 \sin t+4 \cos t)}
\end{aligned}
$
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
$
\begin{aligned}
& Q \leq \sqrt{2(60+8 \sqrt{5}(2 \sin t+\cos t))} \leq \sqrt{2(60+8 \sqrt{5} \cdot \sqrt{5})}=\sqrt{200}=10 \sqrt{2} \\
& \Rightarrow Q \leq 10 \sqrt{2} \Rightarrow Q_{\max }=10 \sqrt{2}
\end{aligned}
$
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}\sin t=\dfrac{2}{\sqrt{5}} \\ \cos t=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=6 \\ b=4\end{array} \Rightarrow P=a+b=10\right.\right.$..
Theo giả thiết ta có: $|z-4-3 i|=\sqrt{5} \Leftrightarrow(a-4)^2+(b-3)^2=5 \Rightarrow$ Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I(4 ; 3)$ bán kính $R=\sqrt{5}$
Gọi $\mathrm{E}$ là trung điểm của $\mathrm{AB}$, kéo dài $\mathrm{EI}$ cắt đường tròn tại $\mathrm{D}$
Ta có: $Q^2=M A^2+M B^2+2 M A . M B$
$
\Leftrightarrow Q^2 \leq M A^2+M B^2+M A^2+M B^2=2\left(M A^2+M B^2\right)
$
Vì $M E$ là trung tuyến trong $\triangle M A B \Rightarrow M E^2=\dfrac{M A^2+M B^2}{2}-\dfrac{A B^2}{4} \Rightarrow M A^2+M B^2=2 M E^2+\dfrac{A B^2}{2} \Rightarrow$ $Q^2 \leq 2\left(2 M E^2+\dfrac{A B^2}{2}\right)=4 M E^2+A B^2$. Mặt khác $M E \leq D E=E I+I D=2 \sqrt{5}+\sqrt{5}=3 \sqrt{5}$ $\Rightarrow Q^2 \leq 4 \cdot(3 \sqrt{5})^2+20=200$
$
\begin{aligned}
& \Rightarrow Q \leq 10 \sqrt{2} \Rightarrow Q_{\max }=10 \sqrt{2} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
M A=M B \\
M \equiv D
\end{array}\right. \\
& \Leftrightarrow \overrightarrow{E I}=2 \overrightarrow{I D} \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l }
{ 4 = 2 ( x _ { D } - 4 ) } \\
{ 2 = 2 ( y _ { D } - 3 ) }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x_D=6 \\
y_D=4
\end{array} \Leftrightarrow \Rightarrow M(6 ; 4) \Rightarrow P=a+b=10\right.\right.
\end{aligned}
$
Cách 2:Đặt $z=a+b i$. Theo giả thiết ta có: $(a-4)^2+(b-5)^2=5$.
Đặt $\left\{\begin{array}{l}a-4=\sqrt{5} \sin t \\ b-3=\sqrt{5} \cos t\end{array}\right.$. Khi đó:
$
\begin{aligned}
& Q=|z+1-3 i|+|z-1+i|=\sqrt{(a+1)^2+(b-3)^2}+\sqrt{(a-1)^2+(b+1)^2} \\
& =\sqrt{(\sqrt{5} \sin t+5)^2+5 \cos ^2 t}+\sqrt{(\sqrt{5} \sin t+3)^2+(\sqrt{5} \cos t+4)^2} \\
& =\sqrt{30+10 \sqrt{5} \sin t}+\sqrt{30+2 \sqrt{5}(3 \sin t+4 \cos t)}
\end{aligned}
$
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
$
\begin{aligned}
& Q \leq \sqrt{2(60+8 \sqrt{5}(2 \sin t+\cos t))} \leq \sqrt{2(60+8 \sqrt{5} \cdot \sqrt{5})}=\sqrt{200}=10 \sqrt{2} \\
& \Rightarrow Q \leq 10 \sqrt{2} \Rightarrow Q_{\max }=10 \sqrt{2}
\end{aligned}
$
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}\sin t=\dfrac{2}{\sqrt{5}} \\ \cos t=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=6 \\ b=4\end{array} \Rightarrow P=a+b=10\right.\right.$..
Đáp án C.