Google
Câu hỏi: . Xét số phức R thỏa mãn $\dfrac{z+2}{z-2i}$ là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức R luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng
A. 1.
B. $\sqrt{2}.$
C. $2\sqrt{2}.$
D. 2.
A. 1.
B. $\sqrt{2}.$
C. $2\sqrt{2}.$
D. 2.
Phương pháp:
Gọi $z=a+bi$, đưa số phức $\dfrac{z+2}{z-2i}=A+Bi$, khi đó $\dfrac{z+2}{z-2i}=A+Bi$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow A=0$. Từ đó suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.
Cách giải:
Gọi $z=a+bi$, ta có:
$\dfrac{z+2}{z-2i}=\dfrac{\left( a+2 \right)+bi}{a+\left( b-2i \right)i}=\dfrac{\left[ \left( a+2 \right)+bi \right]\left[ a-\left( b-2 \right)i \right]}{\left[ a+\left( b-2 \right)i \right]\left[ a-\left( b-2 \right)i \right]}$
$=\dfrac{\left( a+2 \right)a\_\left( a+2 \right)\left( b-2 \right)i+abi+b\left( b-2 \right)}{{{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}$
$=\dfrac{{{a}^{2}}+2a+{{b}^{2}}-2b}{{{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}-\dfrac{\left( a+2 \right)\left( b-2 \right)-ab}{{{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}i$
Để số trên là số thuần ảo có phần thực bằng 0 $\Rightarrow {{a}^{2}}+2a+{{b}^{2}}-2b=0$.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm $I\left( -1;1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}-0}=\sqrt{2}$.
Gọi $z=a+bi$, đưa số phức $\dfrac{z+2}{z-2i}=A+Bi$, khi đó $\dfrac{z+2}{z-2i}=A+Bi$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow A=0$. Từ đó suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.
Cách giải:
Gọi $z=a+bi$, ta có:
$\dfrac{z+2}{z-2i}=\dfrac{\left( a+2 \right)+bi}{a+\left( b-2i \right)i}=\dfrac{\left[ \left( a+2 \right)+bi \right]\left[ a-\left( b-2 \right)i \right]}{\left[ a+\left( b-2 \right)i \right]\left[ a-\left( b-2 \right)i \right]}$
$=\dfrac{\left( a+2 \right)a\_\left( a+2 \right)\left( b-2 \right)i+abi+b\left( b-2 \right)}{{{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}$
$=\dfrac{{{a}^{2}}+2a+{{b}^{2}}-2b}{{{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}-\dfrac{\left( a+2 \right)\left( b-2 \right)-ab}{{{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}i$
Để số trên là số thuần ảo có phần thực bằng 0 $\Rightarrow {{a}^{2}}+2a+{{b}^{2}}-2b=0$.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm $I\left( -1;1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}-0}=\sqrt{2}$.
Đáp án B.