Google
Câu hỏi: Xét khối tứ diện ABCD có cạnh $AB=x$ và các cạnh còn lại đều bằng $2\sqrt{3}$. Giá trị của x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhât là
A. $x=3\sqrt{2}$
B. $x=6$
C. $x=2\sqrt{3}$
D. $x=\sqrt{14}$
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và AB.
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& CD\bot MB \\
& CD\bot MA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow CD\bot \left( MAB \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& CD\bot MN \\
& CD\bot AB \\
\end{aligned} \right.$
Tam giác MAB cân tại M nên $MN\bot AB$
${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}AB.CD.d\left( AB,CD \right).\sin \left( AB,CD \right)=\dfrac{1}{6}x.2\sqrt{3}.MN.\sin 90{}^\circ $
$=\dfrac{1}{6}x.2\sqrt{3}.\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}x.\sqrt{36-{{x}^{2}}}\le \dfrac{\sqrt{3}}{6}.\left[ \dfrac{{{x}^{2}}+\left( 36-{{x}^{2}} \right)}{2} \right]=3\sqrt{3}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=\sqrt{36-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=3\sqrt{2}$
Vậy với $x=3\sqrt{2}$ thì ${{V}_{ABCD}}$ đạt giá trị lớn nhất bằng $3\sqrt{3}$
A. $x=3\sqrt{2}$
B. $x=6$
C. $x=2\sqrt{3}$
D. $x=\sqrt{14}$
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và AB.
Ta có: $\left. \begin{aligned}
& CD\bot MB \\
& CD\bot MA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow CD\bot \left( MAB \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& CD\bot MN \\
& CD\bot AB \\
\end{aligned} \right.$
Tam giác MAB cân tại M nên $MN\bot AB$
${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}AB.CD.d\left( AB,CD \right).\sin \left( AB,CD \right)=\dfrac{1}{6}x.2\sqrt{3}.MN.\sin 90{}^\circ $
$=\dfrac{1}{6}x.2\sqrt{3}.\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}x.\sqrt{36-{{x}^{2}}}\le \dfrac{\sqrt{3}}{6}.\left[ \dfrac{{{x}^{2}}+\left( 36-{{x}^{2}} \right)}{2} \right]=3\sqrt{3}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=\sqrt{36-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=3\sqrt{2}$
Vậy với $x=3\sqrt{2}$ thì ${{V}_{ABCD}}$ đạt giá trị lớn nhất bằng $3\sqrt{3}$
Đáp án A.