Xét khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng chứa đường thẳng AB...

Gọi O là tâm mặt đáy $\left( ABCD \right)$ của hình chóp
tứ giác đều S.ABCD.
Trong $\left( SAC \right)$, gọi I là giao điểm của SO và $A{C}'$
Trong $\left( SBD \right)$, gọi ${D}'$ là giao điểm của BI và SD
$\Rightarrow \left( AB{C}' \right)\equiv \left( AB{C}'{D}' \right)$
Ta có $CD//{C}'{D}'\Rightarrow \dfrac{S{C}'}{SC}=\dfrac{S{D}'}{SD}=k$
$\dfrac{{{V}_{S.AB{C}'{D}'}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{{{V}_{S.AB{C}'}}+{{V}_{S.A{C}'{D}'}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{k.{{V}_{S.ABC}}+{{k}^{2}}.{{V}_{S.ACD}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}k.{{V}_{S.ABCD}}+\dfrac{1}{2}{{k}^{2}}.{{V}_{S.ABCD}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}k+\dfrac{1}{2}{{k}^{2}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& k=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \\
& k=\dfrac{-\sqrt{5}-1}{2} (loai) \\
\end{aligned} \right.$