Xét hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left[ -1;2 \right]$ và thỏa mãn...

Cách 1:(Dùng công thức)
Với: $f(x)+(2x)f\left( {{x}^{2}}-2 \right)+3f\left( 1-x \right)=4{{x}^{3}}$. Ta có:
$A=1;B=1;C=3$ và $u={{x}^{2}}-2$ thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& u\left( -1 \right)=-1 \\
& u\left( 2 \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó áp dụng công thức có: $I=\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)=\dfrac{1}{1+1+3}\int\limits_{-1}^{2}{4{{x}^{3}}dx=\dfrac{{{x}^{4}}}{5}\left| _{_{_{-1}}}^{^{2}} \right.=3}}$
Cách 2: (dùng phương pháp đổi biến)
Từ $f\left( x \right)+2xf\left( {{x}^{2}}-2 \right)+3f\left( 1-x \right)=4{{x}^{3}}$
$\Rightarrow \int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{-1}^{2}{2x.f\left( {{x}^{2}}-2 \right)}dx+3\int\limits_{-1}^{2}{f\left( 1-x \right)dx}=\int\limits_{-1}^{2}{4{{x}^{3}}}dx(*)$
+) Đặt $u={{x}^{2}}-2\Rightarrow du=2xdx;$
Với $x=-1\Rightarrow u=-1$ và $x=2\Rightarrow u=2$
Khi đó $\int\limits_{-1}^{2}{2x.f\left( {{x}^{2}}-2 \right)}dx=\int\limits_{-1}^{2}{f\left( u \right)du}=\int\limits_{-1}^{2}{f(x)dx (1)}$
+) Đặt $t=1-x\Rightarrow dt=-dx$ ;
Với $x=-1\Rightarrow t=2$ và $x=2\Rightarrow t=-1$
Khi đó $\int\limits_{-1}^{2}{f\left( 1-x \right)dx}=\int\limits_{-1}^{2}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)dx}$ (2)
Thay (1), (2) vào (*) ta được:
$5\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)dx=15\Rightarrow \int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)dx=3}}$