Xét hàm số $f (x) = e^{x} (a \sin x + b \cos x)$ với a, b...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Xét hàm số

f (x) = e^{x} (a \sin x + b \cos x)

với a, b là tham số thực. Biết rằng tồn tại

x \in R

để

f^{'} (x) + {f^{'}}^{'} (x) = 10 e^{x} .

Khi đó, nhận định nào sau đây đúng?
A.

a^{2} + b^{2} = 10.

B.

a^{2} + b^{2} \geq 10.

C.

| a - b | \leq \sqrt{10} .

D.

a + b = \sqrt{10} .

Ta có:

f^{'} (x) = e^{x} (a \sin x + b \cos x) + e^{x} (a \cos x - b \sin x)

= e^{x} [(a - b) \sin x + (a + b) \cos x]

= e^{x} [A \sin x + B \cos x]

với

A = a - b; B = a + b .

\Rightarrow {f^{'}}^{'} = e^{x} [(A - B) \sin x + (A + B) \cos x] = e^{x} . (- 2 b \sin x + 2 a \cos x) .

Suy ra:

10 e^{x} = f^{'} (x) + {f^{'}}^{'} (x) = e^{x} [(a - 3 b) \sin x + (3 a + b) \cos x]

\Leftrightarrow (a - 3 b) \sin x + (3 a + b) \cos x = 10.

Điều kiện phương trình có nghiệm:

{(a - 3 b)}^{2} + {(3 a + b)}^{2} \geq 10^{2} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq 10.

Đáp án B.

Xét hàm số f(x)=ex(asin⁡x+bcos⁡x) với a, b...