Google
Câu hỏi: Xét hàm số $f(x)={{e}^{x}}\left( a\sin x+b\cos x \right)$ với a, b là tham số thực. Biết rằng tồn tại $x\in \mathbb{R}$ để ${f}'(x)+{{f}'}'(x)=10{{e}^{x}}.$ Khi đó, nhận định nào sau đây đúng?
A. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=10.$
B. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 10.$
C. $\left| a-b \right|\le \sqrt{10}.$
D. $a+b=\sqrt{10}.$
A. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=10.$
B. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 10.$
C. $\left| a-b \right|\le \sqrt{10}.$
D. $a+b=\sqrt{10}.$
Ta có: ${f}'\left( x \right)={{e}^{x}}\left( a\sin x+b\cos x \right)+{{e}^{x}}\left( a\cos x-b\sin x \right)$
$={{e}^{x}}\left[ \left( a-b \right)\sin x+\left( a+b \right)\cos x \right]$
$={{e}^{x}}\left[ A\sin x+B\cos x \right]$ với $A=a-b;B=a+b.$
$\Rightarrow {{f}'}'={{e}^{x}}\left[ \left( A-B \right)\sin x+\left( A+B \right)\cos x \right]={{e}^{x}}.\left( -2b\sin x+2a\cos x \right).$
Suy ra: $10{{e}^{x}}={f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)={{e}^{x}}\left[ \left( a-3b \right)\sin x+\left( 3a+b \right)\cos x \right]$
$\Leftrightarrow \left( a-3b \right)\sin x+\left( 3a+b \right)\cos x=10.$
Điều kiện phương trình có nghiệm: ${{\left( a-3b \right)}^{2}}+{{\left( 3a+b \right)}^{2}}\ge {{10}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 10.$
$={{e}^{x}}\left[ \left( a-b \right)\sin x+\left( a+b \right)\cos x \right]$
$={{e}^{x}}\left[ A\sin x+B\cos x \right]$ với $A=a-b;B=a+b.$
$\Rightarrow {{f}'}'={{e}^{x}}\left[ \left( A-B \right)\sin x+\left( A+B \right)\cos x \right]={{e}^{x}}.\left( -2b\sin x+2a\cos x \right).$
Suy ra: $10{{e}^{x}}={f}'\left( x \right)+{{f}'}'\left( x \right)={{e}^{x}}\left[ \left( a-3b \right)\sin x+\left( 3a+b \right)\cos x \right]$
$\Leftrightarrow \left( a-3b \right)\sin x+\left( 3a+b \right)\cos x=10.$
Điều kiện phương trình có nghiệm: ${{\left( a-3b \right)}^{2}}+{{\left( 3a+b \right)}^{2}}\ge {{10}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 10.$
Đáp án B.