Xét hàm số $f (x)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;1...

The Knowledge · 18/12/21

Câu hỏi: Xét hàm số

f (x)

liên tục trên đoạn

[0; 1]

và thỏa mãn

4 x . f (x^{2}) + 3 f (1 - x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

.
Tính

I = \int_{0}^{1} f (x) d x

.
A.

I = \frac{2 \sqrt{2} - 1}{5}

.
B.

I = \frac{2 \sqrt{2} - 1}{10}

.
C.

I = \frac{\sqrt{2} - 1}{5}

.
D.

I = \frac{\sqrt{2} - 1}{10}

.

Ta có

\int_{0}^{1} 4 x . f (x^{2}) d x + \int_{0}^{1} 3 f (1 - x) d x = \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x

\int_{0}^{1} 4 x . f (x^{2}) d x = 2 \int_{0}^{1} f (x^{2}) d (x^{2}) = 2 \int_{0}^{1} f (u) d u = 2 \int_{0}^{1} f (x) d x

.

\int_{0}^{1} 3 f (1 - x) d x = 3 \int_{0}^{1} f (v) f (1 - v) = 3 \int_{0}^{1} f (v) d v = 3 \int_{0}^{1} f (x) d x

.
Do đó

5 \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} d (x^{2} + 1) = {\frac{1}{2} .2 \sqrt{x^{2} + 1} |}_{0}^{1} = \sqrt{2 - 1}

\Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{\sqrt{2} - 1}{5}

.

Đáp án C.

Xét hàm số f(x) liên tục trên đoạn $\left[ 0;1...