Xét hàm số $f\left( x \right)=\left| \dfrac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4}...

Đặt $g\left( x \right)=\dfrac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4}$, $x\in \left[ -1;1 \right]$.
Nếu $g\left( x \right)=0$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -1;1 \right]$ thì $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=0$, không thỏa mãn điều kiện $0<\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)<1$. Do đó để có $0<\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)<1$ thì điều kiện cần là phương trình $g\left( x \right)=0$ không có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -1;1 \right]$.
Trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$ : $g\left( x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4}=0\Leftrightarrow mx-2\sqrt{x+4}=0\Leftrightarrow m=\dfrac{2\sqrt{x+4}}{x}$.
Đặt $h\left( x \right)=\dfrac{2\sqrt{x+4}}{x}$ với $x\in \left[ -1;1 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}$.
Ta có ${h}'\left( x \right)=\dfrac{-x-8}{{{x}^{2}}\sqrt{x+4}}<0$, $\forall x\in \left[ -1;1 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}$.
Bảng biến thiên của $h\left( x \right)$ với $x\in \left[ -1;1 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}$.
Do đó để không có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -1;1 \right]$ thì ta phải có $m\in \left( -2\sqrt{3};2\sqrt{5} \right)$.
Ta có ${g}'\left( 0 \right)=\dfrac{2m+3}{8}=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{3}{2}$. Vậy nếu $m$ nguyên thì $x=0$ không phải là điểm cực trị của $g\left( x \right)$, do đó $f\left( x \right)$ không thể đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=0$.'
Mà $f\left( 0 \right)=1$. Do đó với $m$ nguyên, $m\in \left( -2\sqrt{3};2\sqrt{5} \right)$ thì $0<\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)<1$.