Google
Câu hỏi: Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{9}^{t}}}{{{9}^{t}}+{{m}^{2}}}$ với $m$ là tham số thực. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ sao cho $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)+f\left( y \right)=1 \\
& {{e}^{x+y}}\le e.\left( x+y \right) \\
\end{aligned} \right.. $ Tìm tổng các phần tử của tập $ S$.
A. $1.$
B. $0.$
C. $2.$
D. $-1.$
& f\left( x \right)+f\left( y \right)=1 \\
& {{e}^{x+y}}\le e.\left( x+y \right) \\
\end{aligned} \right.. $ Tìm tổng các phần tử của tập $ S$.
A. $1.$
B. $0.$
C. $2.$
D. $-1.$
Ta có: $f(x)+f(y)=1\Leftrightarrow f(y)=1-f(x)$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{9}^{y}}}{{{9}^{y}}+{{m}^{2}}}=1-\dfrac{{{9}^{x}}}{{{9}^{x}}+{{m}^{2}}}=\dfrac{{{m}^{2}}}{{{9}^{x}}+{{m}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{9}^{x+y}}+{{m}^{2}}{{.9}^{y}}={{9}^{y}}.{{m}^{2}}+{{m}^{4}}$ $\Leftrightarrow {{9}^{x+y}}={{m}^{4}}$ $\Leftrightarrow x+y={{\log }_{9}}{{m}^{4}}=2{{\log }_{3}}\left| m \right|$.
Đặt $t={{\log }_{3}}\left| m \right|$. Ta có: ${{e}^{x+y}}\le e(x+y)\Leftrightarrow {{e}^{2t}}\le 2e.t\Leftrightarrow {{e}^{2t}}-2e.t\le 0(*)$
Xét $g(t)={{e}^{2t}}-2et$, có ${g}'(t)=2{{e}^{2t}}-2e=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}$.
Từ bảng biến thiên, ta được ${{e}^{2t}}-2et\ge 0,\forall t$.
Vậy (*) xảy ra $\Leftrightarrow {{e}^{2t}}-2et=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left| m \right|=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left| m \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{3}.$
Vậy tổng các phần tử của tập S bằng 0.
$\Leftrightarrow {{9}^{x+y}}+{{m}^{2}}{{.9}^{y}}={{9}^{y}}.{{m}^{2}}+{{m}^{4}}$ $\Leftrightarrow {{9}^{x+y}}={{m}^{4}}$ $\Leftrightarrow x+y={{\log }_{9}}{{m}^{4}}=2{{\log }_{3}}\left| m \right|$.
Đặt $t={{\log }_{3}}\left| m \right|$. Ta có: ${{e}^{x+y}}\le e(x+y)\Leftrightarrow {{e}^{2t}}\le 2e.t\Leftrightarrow {{e}^{2t}}-2e.t\le 0(*)$
Xét $g(t)={{e}^{2t}}-2et$, có ${g}'(t)=2{{e}^{2t}}-2e=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}$.
Vậy (*) xảy ra $\Leftrightarrow {{e}^{2t}}-2et=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left| m \right|=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left| m \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{3}.$
Vậy tổng các phần tử của tập S bằng 0.
Đáp án B.