Xét hàm số $f\left( t...

The Funny · 28/5/23

Câu hỏi: Xét hàm số

f (t) = \frac{9^{t}}{9^{t} + m^{2}}

với

m

là tham số thực. Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị của

m

sao cho

{\begin{aligned} f (x) + f (y) = 1 \\ e^{x + y} \leq e . (x + y) \end{aligned} .

Tìm tổng các phần tử của tập

S

.
A.

1.

B.

0.

C.

2.

D.

- 1.

Ta có:

f (x) + f (y) = 1 \Leftrightarrow f (y) = 1 - f (x)

\Leftrightarrow \frac{9^{y}}{9^{y} + m^{2}} = 1 - \frac{9^{x}}{9^{x} + m^{2}} = \frac{m^{2}}{9^{x} + m^{2}}

\Leftrightarrow 9^{x + y} + m^{2} {.9}^{y} = 9^{y} . m^{2} + m^{4}

\Leftrightarrow 9^{x + y} = m^{4}

\Leftrightarrow x + y = \log_{9} m^{4} = 2 \log_{3} | m |

.
Đặt

t = \log_{3} | m |

. Ta có:

e^{x + y} \leq e (x + y) \Leftrightarrow e^{2 t} \leq 2 e . t \Leftrightarrow e^{2 t} - 2 e . t \leq 0 (*)

Xét

g (t) = e^{2 t} - 2 e t

, có

g^{'} (t) = 2 e^{2 t} - 2 e = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}

.

Từ bảng biến thiên, ta được

e^{2 t} - 2 e t \geq 0, \forall t

.
Vậy (*) xảy ra

\Leftrightarrow e^{2 t} - 2 e t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}

\Leftrightarrow \log_{3} | m | = \frac{1}{2} \Leftrightarrow | m | = \sqrt{3} \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{3} .

Vậy tổng các phần tử của tập S bằng 0.

Đáp án B.