Google
Câu hỏi: Xét hai số phức $z_1, z_2$ thoả mãn $\left|z_1-2 z_2\right|=4$ và $\left|3 z_1+z_2\right|=5$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left|5 z_1-3 z_2\right|+\left|z_1+5 z_2\right|$, khi đó $M^2-m^2$ bằng
A. $325$.
B. $125$.
C. $247$.
D. $100$.
A. $325$.
B. $125$.
C. $247$.
D. $100$.
Đặt $a=z_1-2 z_2 ; b=3 z_1+z_2 \Rightarrow 5 z_1-3 z_2=2 a+b ; z_1+5 z_2=b-2 a ;|a|=4 ;|b|=5$.
Khi đó $P=|2 a+b|+|b-2 a|$. Gọi $A(a), B(b) \Rightarrow|a|=|\overrightarrow{O A}|=4 ;|b|=|\overrightarrow{O B}|=5$ và
$\begin{aligned}
& |2a+b{{|}^{2}}={{(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})}^{2}}=4{{\overrightarrow{OA}}^{2}}+{{\overrightarrow{OB}}^{2}}+4\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB} \\
& =64+25+4OA\cdot OB\cos (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=89+80x \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& |b-2a{{|}^{2}}={{(-2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})}^{2}}=4{{\overrightarrow{OA}}^{2}}+{{\overrightarrow{OB}}^{2}}-4\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB} \\
& =64+25-40A\cdot OB\cos (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=89-80x \\
\end{aligned}$
trong đó, $x=\cos (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\in [-1;1]$.
Suy ra $P=g(x)=\sqrt{89+80x}+\sqrt{89-80x}$
$M=\underset{[-1;1]}{\mathop{\max }} g(x)=g(0)=2\sqrt{89};m=\underset{[-1;1]}{\mathop{\min }} g(x)=g(\pm 1)=16$. Vậy ${{M}^{2}}-{{m}^{2}}={{(2\sqrt{89})}^{2}}-{{16}^{2}}=100$.
Khi đó $P=|2 a+b|+|b-2 a|$. Gọi $A(a), B(b) \Rightarrow|a|=|\overrightarrow{O A}|=4 ;|b|=|\overrightarrow{O B}|=5$ và
$\begin{aligned}
& |2a+b{{|}^{2}}={{(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})}^{2}}=4{{\overrightarrow{OA}}^{2}}+{{\overrightarrow{OB}}^{2}}+4\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB} \\
& =64+25+4OA\cdot OB\cos (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=89+80x \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& |b-2a{{|}^{2}}={{(-2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})}^{2}}=4{{\overrightarrow{OA}}^{2}}+{{\overrightarrow{OB}}^{2}}-4\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB} \\
& =64+25-40A\cdot OB\cos (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=89-80x \\
\end{aligned}$
trong đó, $x=\cos (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\in [-1;1]$.
Suy ra $P=g(x)=\sqrt{89+80x}+\sqrt{89-80x}$
$M=\underset{[-1;1]}{\mathop{\max }} g(x)=g(0)=2\sqrt{89};m=\underset{[-1;1]}{\mathop{\min }} g(x)=g(\pm 1)=16$. Vậy ${{M}^{2}}-{{m}^{2}}={{(2\sqrt{89})}^{2}}-{{16}^{2}}=100$.
Đáp án D.